Schéma
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Géométrie
Définition
Un schéma est la donnée d'un espace localement annelé localement isomorphe à un schéma affine.
Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif unitaire, muni de son faisceau structural.
Intuition
Un schéma est avant tout un objet géométrique.
Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique.
Rappelons brièvement que, normalement, une variété algébrique (en dimension 2) est l'ensemble des points P=(x,y) du plan qui vérifie une équation polynomiale, par exemple «x²+y²=1» (on obtient le cercle) ou «y=x²» (on obtient la parabole) ou «yx=1» (on obtient l'hyperbole) ou «x+y=1» (ou obtient une droite).
En fait, on peut concevoir un schéma comme un objet plus général qu'une variété algébrique qui engloberait une variété V définie au-dessus de Q ainsi que toutes les variétés au-dessus des corps finis premiers déduites de V par réduction modulo p.
Histoire
La notion de schéma est due à Alexander Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. La théorie des schémas est développée de la façon la plus belle et la plus complète dans le grand traité de fondements, inachevé (mais très complet !), les Éléments de Géométrie Algébrique, plus connu des mathématiciens sous le nom de EGA.
Outil
Dans tout les métiers techniques on utilise en autre outils de travail, des schémas, sorte de plans représentants à l'aide de symboles prédéfinis associés à un dessin simplifié : les travaux à effectuer, les détails de constitutif d'une machine.
