Vecteur densité de courant

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Définition

On notant <math>i</math> le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit <math>d\vec{S}</math> un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose  :

<math>\vec{j}</math> le vecteur densité de courant tel que <math>di = \vec{j}.d\vec{S}</math>.

On a alors <math>i = \int \int_S \vec{j}.d\vec{S}</math>.

Le signe de <math>i</math> est alors lié à l'orientation de la surface <math>S</math>.

Expression de <math>\vec{j}</math>

On montre du fait que <math>i=\frac{dq}{dt}</math> que dans le cas où il n'y a qu'un seul type de porteur (électron par exemple) on a :

<math>\vec{j}=qn<\vec{v}></math>

où <math>q</math> est la charge d'un porteur, <math>n</math> la densité volume des porteur (nombre de porteurs par unité de volume) et <math><\vec{v}></math> le vecteur vitesse moyen des porteurs.

dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs (solution électrolytique par exemple) on aura :

<math>\vec{j}=\sum_k q_k n_k <\vec{v}>_k</math>

A noter que <math><\vec{v}>_k</math> dépend des autres porteurs de charges.

vecteur densité de courant surfacique <math>\vec{j}_S</math>

Supposons qu'une dimension du conducteur soit faible devant les autres, on aura alors une "feuille" d'épaisseur <math>e</math> négligeable, alors :

<math>i = \int \int_S \vec{j}.d\vec{S} = \int (\int_{0}^{e} \vec{j} dy)dx \vec{u}</math>, on posera alors :

<math>\vec{j}_S = \int_{0}^{e} \vec{j} dy </math>

alors <math>i = \int \vec{j}_S dx . \vec{u}</math>