Trigonométrie

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Un article trigonométrie classique expose très bien le sujet. La trigonométrie (du grec trigonos, «trois angles», et metron, «mesure») est la science mathématique qui traite des rapports de distances et d'angles dans les triangles. Elle sert sur terre ( arpentage, métré, cadastre et cartes 3D), en mer ( navigation), dans le ciel ( astrométrie).

La physique des machines tournantes, des alternateurs et donc du courant alternatif, et tout ce qui est du domaine des phénomènes périodiques (gràce au théorème de Fourier), utilise beaucoup la trigonométrie.

La précision sur les mesures angulaires atteint actuellement la quarte d'arc ( la seconde de seconde ou minute de la tierce).

Les indications suivantes sont à l'usage d'autodidacte de niveau 3eme ( âge 15 ans en France). Il faut avoir acquis le théorème de Pythagore.

Les indications pour les mesures d'angle sur la sphère sont à l'article trigonométrie sphèrique.

Enfin , on pourra utilement consulter l'ensemble des articles catégorie: trigonométrie.

Sommaire 1 Histoire de la trigonométrie 2 Cercle trigonométrique 3 Rose des vents 4 Se ramener aux angles aigus 5 Se ramener aux angles de moins de 45° 6 La tangente d'un angle 7 Formule d'addition 8 Formules de doublement des arcs 9 Exemples 10 Formules de Simpson: des produits vers les sommes 11 Formule de Simpson: des sommes vers les produits 12 Théorème d'Al-Kashi 13 Formule des sinus 14 Formule des différences des côtés 15 Résoudre un triangle 16 Quelques problèmes célèbres 17 Voir aussi

Histoire de la trigonométrie

à rédiger

• besoin humain de mesurer des distances qui lui sont inaccessibles directement : hauteur d'une montagne, distance des astres, etc.
• besoins spécifiques de la navigation et de l'astronomie : détermination de la latitude du lieu où l'on se trouve
• fondateur de la trigonométrie : astronome Hipparque de Nicée (premières tables) ;
• connaissances transmises par Ptolémée (Almageste) ;
• premier rapport trigonométrique : le sinus (de l'arabe djayb, corde d'arc) ;
• perfectionnement des tables et méthodes de calcul par les arabes et indiens (Moyen Âge), puis les européens (Renaissance) ;
• invention des logarithmes ;
• arrivée des machines électronique (calculettes, calculatrices, ordinateurs).

Cercle trigonométrique

D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle ABC , rectangle en A :a² = b² + c²; l'angle aigu B est tel que, par définition :

• sin B = b/a ; de même sin C = c/a .
• cos B = c/a ; de même cos C = b/a .

Evidemment cos²B + sin²B = 1 ; et cos B = sin C , où C est le complémentaire de l'angle B.

• Soit un cercle de centre O et de rayon 1, accompagné d'un repère orthonormal <math> \left( O; \vec i; \vec j \right)</math>.
• Pour tout angle <math>\alpha</math> déterminé par les vecteurs <math>\overrightarrow {OI}</math> et <math>\overrightarrow {OM}</math> (M étant un point du cercle trigonométrique quelconque), le cosinus de <math>\alpha</math> est le projeté orthogonal de M sur [Ox), et le sinus de <math>\alpha</math> est le projeté orthogonal de M sur [Oy).
• Ainsi, dans le repère <math> \left( O; \vec i; \vec j \right)</math> :
• <math>\cos \alpha = x_M</math>
• <math>\sin \alpha = y_M</math>

L'unité naturelle d'angle est le tour ; on parle aussi en degrés : +/- un quart de tour vaut 90°quand on tourne à gauche et -90° quand on tourne à droite.

Le système sexagésimal étant choisi pour les degrés , 1 minute = 1/60 ° ; une seconde est la minute de la minute , soit 1/60²° = 1/360°, la tierce 1/60³° = 1/21600° et la quarte = 1/1 296 000 °: cela représente la précision ultime actuelle des mesures d'angles.

Les mathématiciens préfèrent ( pour des raisons qui seront expliquées ci-après) comme unité d'angle , le radian : un tour vaut 360° et 2<math>\pi</math> radians :on retient 1 radian ~ 57°30'. Pour plus de précision , utiliser la vraie valeur 360°/ 2<math>\pi</math>. Attention sur les calculettes à préciser quel choix d'unités est fait .

• Exemples :

- 2tours et demi = -5<math>\pi</math> radians = - 900°

710° = 720°-10° = 2 tours -10°

Moyennant un certain nombre de tours , on peut toujours ainsi se ramener à un angle compris entre -180° et + 180°.

Rose des vents

Il est bien utile pour se souvenir des tables trigonométriques de se représenter les directions sur le cercle triginométrique comme une rose des vents : ainsi l'Est est à 0° , le Nord à 90° , l'Ouest à 180° et le Sud à 240° = -90° ( à +360° près : on dit à un tour près , ou à 2<math>\pi</math> radians près).

Les marins comptent souvent à partir du Nord ( c'est à dire un décalage de 90°).

Le N-E est à 45° : le triangle rectangle est isocèle et donc cos²45° = sin²45° = 1/2(somme) = 1/2 donc cos(45°) = sqrt(2)/2 ~ 1.414 /2 = 0.707. Il apparaît que le N-O ( à 135°) est tel que cos 135° = -0.707 , puis le S-O a le même cosinus ; enfin le S-E a pour cosinus : cos( -45°) = cos(45°).

On peut recommencer avec l'hexagone régulier, commençant avec un sommet en E :

cos 0° = 1

cos 60° = sqrt(3)/2 ~ 1.732/2 = 0.866

cos 120° = -sqrt(3)/2 = cos(240°) et enfin cos(-60°) = cos( 60°).

On peut recommencer avec le pentagone régulier , disons pointe à l'Est :

cos 0° = 1

cos 72° = cos (-72°) = [sqrt(5)-1]/4 ~ 0.309 ,( ce qui n'est pas évident, mais que l'on va démontrer)

cos 144° = cos (-144°) = -[sqrt(5)+1]/4 = -cos(72°) -0.5 = -0.809 = - 1.618/2 (réfléchir : 1 + 2 cos(72°) +2 cos(144°) = 0 )

enfin il est utile de savoir que

cos(15°) s'exprime à l'aide de sqrt(6): cos(15°) = [sqrt(6)+sqrt(2)]/4 ~ 0.966.

Enfin pour les petits angles, il clair que le cos(<math>\epsilon</math>) sera seulement légèrement plus petit que 1 : et c'est là que se révèle l'avantage des radians :

SI l'ANGLE (<math>\epsilon</math>) EST EXPRIME EN RADIANS , ALORS ON NE SE TROMPE PAS BEAUCOUP si l'on déclare : RÈGLE:

cos (<math>\epsilon</math>)= 1 - (<math>\epsilon</math>)²/2 par défaut

Par exemple cos ( 1') = cos ( 2<math>\pi/21600 RADIANS</math>)~ 1- 4.230 797 497 E(-8)

au lieu de 1- 4.230 797 467 E(-8); bien sûr , en mathématiques , on peut avoir à volonté la précision désirée, si ...nécessaire!

La même règle dit que 2 fois la longueur de l'arc EM , c'est à dire arc (M'M) peut être confondue par valeur supérieure à 2 sinus(arc EM), évidemment la mesure de l'arc étant en radians.Soit :

sin(<math>\epsilon</math>)= (<math>\epsilon</math>)par défaut.

Se ramener aux angles aigus

De par la définition même,

cos( -x) = cos(x) : ce qui permet de se ramener aux angles positifs.

Puis cos ( 180°-A) = - cos (A) : ce qui permet de se ramener aux angles aigus.

Se ramener aux angles de moins de 45°

cos(90°-A) = sin(A) = sqrt[1-cos²(A)];

cette opération étant facile à éxécuter, on ne retient en général que les valeurs des cosinus (ou des sinus , selon sa préférence)pour 0°< A < 45°.

Par exemple récapitulons déjà toutes les valeurs apprises, via une table des sinus :

Quand A croît de 0° à 45° , sin A augmente régulièrement (mais pas linéairement !) de 0 à sqrt(2)/2:

sin(1') = 3 E-4.

sin(15°) =[sqrt(6)-sqrt(2)]/4 ~ 0.259 < <math>\pi</math>/12.

sin(18°) = cos(72°) = [sqrt(5)-1]/4 ~ 0.309

sin(30°) = 1/2

sin(45°) = 0.707

exercice de compréhension :

A := 109°28'16" est un angle qui revient souvent dans la nature : cos A= -1/3

calculer sin (A-90°) :réponse: 1/3 , un peu plus grand que sin(18°).

La tangente d'un angle

Elle s'écrivait tg A ; l'écriture aujourd'hui est plutôt tan A :

Pour un triangle rectangle en A , tan(B) = AC/AB = c/b = c/a : b/a = sin(B)/cos(B).

En divisant le relation de Pythagore cos² A + sin² A = 1 par cos² A , on trouve :

1+ tan² A = 1/cos² A .

On observe que tan( A + 180°) = tan A , ce qui permet de se ramener aux angles compris entre -90° et 90°. Puis on observe que tan (-A) = tan A : donc on se ramène aux angles aigus . Enfin quasiment par définition tan B = 1/ tan C = 1/ tan(90°- B) : ce qui ramène à la table des angles de 0 à 45° :

tan 0° = 0 tan 15° = 2 - sqrt(3)~ 0.268 > sin 15° tan 30° = sqrt(3)/3 ~ 0.577 tan 45° = 1

exercice : calculer tan(60°) : réponse tan(60°) = 1/tan(30°) = sqrt(3)= 1.732

exercice : calculer tan (89°59'): réponse : environ 10 000/3 (se rappeler sin(1') )

• Quand on maîtrise bien la notion de tangente , les problèmes de triangulation de navigation deviennent plus compréhensibles.

Exemple 1 : On voit un phare de 50m sous un angle de 15°: à quelle distance est-on du phare ?

Réponse : 50m/tan(15°) = 186.6 m .

Exemple 2 : un avion vole apparemment avec un cap de +30° par rapport à l'Est , mais un vent de 10km/h de direction +300° par rapport à l'Est ( donc un vent de Nord)le déporte. Calculer le cap réel de l'avion sachant que sa vitesse est 400km/h .

Réponse : l'angle de la vitesse du vent avec la vitesse apparente de l'avion est + 90°; on a donc un angle de dérive négative A, de tan(A) = -10/400 = -1/40 = -0.025 , ce qui correspond à A = -1.43°, ce qui est non négligeable : le cap est très important pour respecter les couloirs aériens et arriver à bon port. La vitesse en module est sqrt( 400² +10²) = 400.12km/h , ce qui est quasi-négligeable.

Formule d'addition

• Addition de 2 angles positifs aigus A et B très petits :

sin ( A + B) doit être proche de sin A + sin B puisque la fonction est croissante et quasi-linéaire .

La formule EXACTE est :

 sin (A + B) = sin A .cos B  + sin B. cos A , évidemment symétrique.

lemme : sur le cercle trigonométrique , la corde KL qui sous-tend l'arc 2C = K0L vaut 2.sin(C):il suffit en effet de diviser la corde en deux pour voir apparaître le sinus(C).

démonstration du théorème : sur le cercle trigonométrique , tracer le quadrangle SKNLS , les points K et L étant choisis assez proches de N . Mener la perpendiculaire SH à la corde KL :

alors KL = KH + HL ;

or, KH projection de la corde KN = cos B. 2.sin A ; de même :

HL projection de la corde LN = cos A. 2.sin B

Or KL = 2.sin C = 2 sin(A + B). FIN de démonstration.

• Nous admettrons qu'elle reste vraie dans tous les cas de figures.

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On en déduit celle de l'addition pour les cosinus :

sin(90°-A-B) = cos(A+B) = sin(90°-A).cos(-B) + sin(-B).cos(90°-A) ; soit :

cos(A+B) = cos A . cos B - sin A .sin B

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On en déduit celle des tangentes :

tan(A+B)= [tan A + tan B]/[1 - tan A . tan B]

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Conseil formel : ne pas apprendre par coeur les formules de soustraction; il vaut mieux apprendre et réapprendre sin(-A) = - sin A et cos(-A) = cos A et , de tête, retrouver les formules dites de soustraction !

Par contre retenir LA formule des sinus : il n'y a qu'un plus et elle est symétrique en A et B ; la contrôler mentalement en faisant B= 0 ou epsilon [ sin (A+epsilon) est un peu plus grand que sin A : sin A + epsilon .cos A]

Formules de doublement des arcs

On dit aussi duplication. Elles sont TRES importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. Certes il suffit de faire B = A dans les formules précédentes ; soit :

sin 2A = 2 sinA.cosA

cos 2A = cos²A - sin²A = 2.cos²A -1 = 1 - 2.sin²A

tan 2A = 2.tanA / ( 1- tan²A)

__________

on peut aussi retenir qu'en posant t := tan A , alors :

sin 2A = 2t/(1+t²)  ; cos 2A = (1-t²)/(1+t²) et  tan 2A = 2t/(1-t²)

Exemples

• On rappelle que l'on connaît par coeur les angles 0°; 15° ; 18° ; 30° et 45° .

• En fait l'angle de 15° a été obtenu par différence entre les angles de 45° et 30° : le vérifier.

• cos 36° = (1+sqrt(5))/4  ; sin 22.5° = sqrt[2-sqrt(2)]/2

• On voit que l'on peut obtenir l'angle de 3° = 18°-15°, puis par additions successives tous les multiples de 3°.

• Ensuite, si l'on n'a pas besoin de précision , une interpolation rapide de tête suffit pour 2 ChS ( Chiffres significatifs). S'y entraîner. Cela permet de vérifier des fautes de frappe sur la calculette et surtout de s'en sortir quand on n'a pas de calculette !

• Exercice : démontrer que sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A ( en utilisant 3A = 2A+A); ceci montre que on a: sin 3A/sin A s'exprime à l'aide de cos A ; il est bon de savoir que sin kA/sinA est toujours exprimable par une expression algébrique en cos A ( un polynôme de x= cos A , dit polynôme de Chebychev).

De même cos kA s'exprime par une autre famille de polynômes , toujours dits de Chebychev.

• Exercice : soit les 3 angles d'un triangle A, B, C : montrer que :

sin 2A + sin 2B +sin 2C = 4 sinA .sinB . sinC

tanA +tanB +tanC = tanA.tanB.tanC

Formules de Simpson: des produits vers les sommes

L'introduction de ces formules sera faite pour les électroniciens : ce sont eux qui ont sans doute le plus besoin de retenir qu'en "multipliant une fréquence par une fréquence" , on obtient la somme d'une fréquence somme et d'une fréquence différence :

<math>2 \cdot cos(\omega_1 t)\cdot cos( \omega_2 t) =  cos (\omega_1+\omega_2)t\cdot cos(\omega_1-\omega_2)t</math> 

Par exemple en radiophonie , moduler un signal de 500 kHz avec du 800 Hz donne deux signaux de fréquences 500.8 kHz et 499.2 kHz .

On retient les 3 autres formules en changeant un 90° .

En mathématiques on dit 2.cos A. cos B = cos(A+B) .cos(A-B)

Formule de Simpson: des sommes vers les produits

cos p + cos q = on obtient les produits avec les demi-sommes et les demi-différences ( la prosthaphaérèse):

cos p + cos q = 2. cos( (p+q)/2 ) . cos( (p-q)/2 )

et 3 autres formules en changeant un 90°.

cos p - cos q = -2 sin (p-q)/2  . sin (p+q/2   ( faire p = q +eps pour s'en souvenir :cos x diminue quand x croît de 0 à 180° )

sin p - sin q = +2 sin (p-q)/2 . cos(p+q)/2   ( idem , faire p = q +eps ).

Théorème d'Al-Kashi

• Dans tout triangle rectangle en A , a² = b² + c²
• Si A est aigu : a² < b² + c²
• Si A est obtus: a² > b² + c² , mais de combien ? réponse de Al-Kashi :

 a² = b² + c² - 2 bc.cosA

Ce qui paraît pertinent puisque cos A est positif si A est aigu et négatif si A est obtus. Il reste à le démontrer :

Prenons le cas : angles B et C aigus , soit AH la hauteur menée sur la base BC .

Alors a² = BH² + HC² + 2 BH.HC = (b²-h²) +(c²-h²) + 2 c.cosB .b.cosC = b²+c²+2bc.(cosB.cosC-sinC.sinB) = b² + c² + 2bc.cos(B+C) = b² + c² - 2 bc.cosA.

cf aussi , mais à un autre niveau Théorème d'Al-Kashi.

Formule des sinus

a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc /2S = abc /2pr = 2R

Il suffit de voir que ha = 2S avec h = c .sinB donc abc. sin B = 2S.b . D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra +rb + rc = 2S = r.2p.

R est le rayon du cercle circonscrit.

Formule des différences des côtés

• b-c = a .sin[(B-C)/2]/cos[A/2]

c'est une application directe de la formule des sinus et de la formule "des produits en sens inverse" : laissé en exercice. On a aussi la somme des côtés de la même façon.

Formule TRES importante du triangle au petit côté BC =a avec l'angle B obtus : b est peu différent de c mais b > c , de combien ? réponse :

 b - c = projection de BC sur AB = -a cos B , si a << c

en effet A est négligeable et B+C ~ 180°.

• b² - c² = 2 BC.IH ( I milieu de AB et H pied de la perpendiculaire AH);

• b² + c² = 2AI²+ a²/2

On apprend en général ces deux formules supplémentaires en même temps.

• Formule des tangentes ( dite parfois formule des arpenteurs) :

(b-c)/(b+c) = tan[(B-C)/2]/ tan [( B+C)/2]

tan (A/2) = r/(p-a) 

( se rappeler que A/2 étant aigu , tan(A/2) = sqrt[ (1-cosA)/(1+cosA) ] et appliquer Al-Kashi)

Résoudre un triangle

C'est , étant donné un côté et deux angles adjacents , ou un angle et deux côtés adjacents , ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B , trouver le triangle correspondant, c-'est à dire , a, b, c , A, , C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus ). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes ( plus la formule de projection évidente a = b.cosC +c.cosB).

Exemple : Sur l'axe Ox , OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M  :

On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ . Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0.433 et x = 1-(0.5)/2 = 0.75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC , et azimut de M = 30°, angle OMB = 90°.

Il est rare du point de vue cadastral que les cas soient aussi simples.

Cf résolution d'un triangle

En général on demande 4 à 5 ChS ( chiffres significatifs ): les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien terrestre de Paris s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard , vers 1660? .

La surface S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S² = p(p-a)(p-b)(p-c).

Quelques problèmes célèbres

• l'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit ( en radian!) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD.

• La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 <math>\alpha</math> : soit I milieu de AB et CD le diamètre passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin <math>\alpha</math>)² .

Aire de l'onglet : S = R²[<math>\alpha</math> - sin(2.<math>\alpha</math>)/2] quand alpha est tout petit , on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède): la différence est d'ordre supérieur à 3.

• formule de Machin : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = <math>\pi</math>/4 , ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement".Cette formule se généralise.

• polygone réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles , mais le polygone à 17 côtés(heptadécagone) est constructible ( théorème de Gauss à 19 ans : 1796); par contre on peut construire par pliage (cf origami) l'heptagone et le nonagone . On trouve néanmoins aisément A = 360°/7 , alors sin A .sin 2A .sin 3A = sqrt(7) /8 et pour les cosinus 1/8 cf article . des formules semblables existent pour le nonagone.

• algorithme CORDIC de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ?

Voir aussi

• Fonction trigonométrique
• Fonction hyperbolique
• Evidemment les articles de la catégorie : trigonométrie.