Tribu (mathématiques)

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Une tribu ou σ-algèbre <math>\mathcal B</math> sur un ensemble Ω est un ensemble de parties de Ω qui est stable pour des opérations dénombrables d'ensembles ; les tribus sont principalement utilisées afin de définir des mesures sur Ω. Le concept est important en analyse et en théorie des probabilités.

Formellement, <math>\mathcal B</math> est une tribu sur Ω si par définition elle a les propriétés suivantes:

l'ensemble vide est dans <math>\mathcal B</math>,
si A appartient à <math>\mathcal B</math> alors le complémentaire de A dans Ω appartient aussi à <math>\mathcal B</math>,
si (A₁, A₂, A₃...) est une suite d'éléments de <math>\mathcal B</math> alors l'union (dénombrable) de cette suite appartient aussi à <math>\mathcal B</math>.

De 1 et 2 il découle que Ω appartient à <math>\mathcal B</math> ; de 2 et 3 il s'ensuit qu'une tribu est également stable pour l'opération d'intersection dénombrable. Un couple <math>\left(\Omega, \mathcal B\right)</math>, où Ω est un ensemble et <math>\mathcal B</math> est une tribu sur Ω, est appelé espace mesurable ou espace probabilisable.

Exemples

Si Ω est un ensemble quelconque, alors l'ensemble formé uniquement de l'ensemble vide et de Ω est une tribu sur Ω, appelée la tribu triviale. Un autre exemple de tribu sur Ω est donné par l'ensemble des parties de Ω appelée tribu discrète.

Si <math>\left(\mathcal B_a\right)_a</math> est une famille de tribus sur Ω, alors l'intersection de toutes les <math>\mathcal B_a</math> est aussi une tribu sur Ω.

Si U est un ensemble arbitraire de parties de Ω alors nous pouvons former une tribu particulière à partir de U, appelée la tribu engendrée par U. Nous la notons σ(U) et la définissons de la manière suivante :

D'abord remarquons qu'il existe une tribu sur Ω qui contient U, la tribu discrète sur Ω. Soit Φ l'ensemble de toutes les tribus sur Ω qui contiennent U (cela signifie qu'une tribu <math>\mathcal B</math> sur Ω appartient à Φ si et seulement si U est un sous-ensemble de <math>\mathcal B</math>). Alors nous définissons σ(U) comme étant l'intersection de toutes les tribus de Φ : σ(U) est la plus petite tribu sur Ω contenant U ; ses éléments sont tous les ensembles qui peuvent être obtenus à partir des éléments de U en utilisant les opérations d'intersection, de réunion dénombrable, ou de passage au complémentaire transfiniment.

Cela nous mène à l'exemple le plus important : la tribu de Borel sur n'importe quel espace topologique, qui est la tribu engendrée par les ensembles ouverts (ou, de manière équivalente, par les ensembles fermés), appelée tribu borélienne. Notons que cette tribu n'est pas en général, l'ensemble de toutes les parties ; par exemple, la tribu borélienne de Rⁿ a la puissance du continu, alors que P(Rⁿ) a une puissance strictement supérieure.

Sur l'espace euclidien <math>\mathbb R^n</math>, une autre tribu importante : celle des ensembles Lebesgue-mesurables. Cette tribu contient « plus » d'ensembles que la tribu de Borel sur <math>\mathbb R^n</math> et est privilégiée dans la théorie de l'intégration. Elle ne contient pas non plus l'ensemble des parties de <math>\mathbb R^n</math>, mais l'argument de cardinalité ne suffit plus ; voir Ensemble non mesurable.