Triangle

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En géométrie, un triangle se définit rigoureusement sur une surface comme une figure fermée à trois côtés, ces trois côtés étant des arcs de géodésiques de cette surface. Cette surface peut être entre autres sphérique, hyperbolique ou plane, et les triangles correspondants sont dits sphériques, hyperboliques ou plans. Ce dernier cas a cependant une telle importance pratique qu'en l'absence d'autre précision, un triangle est en fait toujours un triangle plan.

Sommaire 1 Définition 2 Symbolique 3 Typologie des triangles 3.1 Suivant leurs symétries 3.2 Suivant leurs angles 3.3 Triangles particuliers 3.3.1 Triangle 3-4-5 3.3.2 Triangle 30-60-90 3.3.3 Demi-carré 4 Définitions dérivées 4.1 Cercles liés à un triangle 4.2 Segments liés à un triangle 5 Propriétés en géométrie euclidienne 6 Métrique du triangle 7 Voir aussi

Définition

Ainsi, sauf indication explicite du contraire, un triangle est une figure fermée plane à trois côtés rectilignes. C'est donc un polygone à trois côtés, que trois points non alignés (ses sommets) suffisent à définir.

Symbolique

Cette figure est particulièrement intéressante, car toute forme aux contours brisés (c'est-à-dire dont le contour est constitué de traits droits) peut être découpée en triangles ; si l'on connaît les propriétés des triangles, on peut en déduire les propriétés de cette figure quelconque. Si la figure a un contour courbe, on peut l'approcher par une ligne brisée et se reporter au cas précédent.

Le triangle est également le symbole de la stabilité, utilisé par exemple dans le symbole de la Sécurité civile. C'est le profil spontané que prend un tas de sable ou de gravier. Il est de ce fait à la base des constructions traditionnelles (hutte, tipi, wigwam) et a été largement adopté par les architectes : c'est le profil des pyramides égyptiennes, mais aussi celui des toitures, des flèches de cathédrale...

Outre cette stabilité verticale, on peut aussi remarquer qu'un tabouret à trois pieds n'est jamais bancal, le triangle représente aussi la stabilité horizontale. En fait, trois point sont toujours sur un même plan (on peut mettre une plaque parfaitement plane en contact avec les trois pieds), alors que si l'on ajoute un quatrième point, il peut être au-dessus ou en dessous de ce plan. Ainsi, une des positions de travail stable est la position du trépied (un genou au sol, l'autre relevé) ; c'est la figure formée par les roues et la béquille d'un vélo ; en premiers secours, la stabilité de la position latérale de sécurité (PLS) est assurée par deux triangles, l'un formé par l'avant-bras posé au sol et la main sous la tête, l'autre formé par la partie du bassin posée au sol, le genou de la jambe pliée et le pied de la jambe allongée. C'est aussi cette propriété de planéité qui fait qu'en informatique, une surface est décomposée en triangles (par exemple en synthèse d'image ou pour les calculs par éléments finis).

Le triangle est aussi le profil de la pointe de flèche, le symbole de la direction, de la détermination, de la pénétration. C'est le profil de l'aile d'un deltaplane ou du Concorde.

Dans certaines sociétés traditionnelles, c'est le symbole de la femme, car c'est la forme de la pilosité pubienne ; par exemple, le foyer (feu) entretenu par la femme est constitué de trois pierres.

Typologie des triangles

Les triangles peuvent être classés de deux manières :

Suivant leurs symétries

En pratique, un triangle est symétrique quand il a des côtés égaux (ou des angles égaux, ce qui revient au même). Il peut être :

• « équilatéral » si tous ses côtés ont la même longueur (équivalent : si tous ses angles sont égaux) ;
• « isocèle » s'il a deux côtés de même longueur (équivalent : si deux de ses angles sont égaux) ;
• « scalène » si tous ses côtés sont de longueurs différentes.

Suivant leurs angles

Rappelons qu'un angle est :

• droit s'il vaut un quart de tour ou 90 ° ou π/2 radians ;
• aigu s'il est plus petit qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut moins de 90 ° ;
• obtus s'il est plus grand qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut plus de 90 °.

Comme la somme de ses angles vaut 180 ° (ou π radians) (voir ci-dessous Propriétés en géométrie euclidienne), un triangle ne peut pas comporter deux angles droits ou obtus (ou plus!). Il a donc au moins deux angles aigus ; suivant la mesure de son troisième angle, il est :

• « rectangle » si cet angle est droit; le côté opposé à l'angle droit est alors appelé « hypoténuse » ; les deux autres côtés sont dits « adjacents » à l'angle droit ;
• « obtusangle » (ou obtus) si cet angle est obtus ;
• « acutangle » (ou aigu) si cet angle est aigu (les trois angles sont alors aigus)...

Triangles particuliers

Triangle 3-4-5

C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression ( 3, 4, 5 ).

Triangle 30-60-90

C'est un triangle rectangle dont les angles font 30 °, 60 ° et 90 °, c'est-à-dire forment une progression (1, 2, 3). Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » ou « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

Demi-carré

Le découpage précédent peut se généraliser à tout triangle isocèle, à condition de couper suivant l'axe de symétrie. Les deux triangles rectangles obtenus peuvent être recollés le long de leur deux autres côtés adjacents à l'angle droit. À tout triangle isocèle obtusangle se trouve ainsi associé un triangle isocèle acutangle et vice-versa. Si le triangle de départ était rectangle, le triangle obtenu est alors identique, et les deux morceaux intermédiaires ont d'ailleurs eux aussi la même forme. Si ces derniers sont recollés suivant leur hypoténuse, on obtient un carré, d'où le nom de demi-carré donné à ces triangles.

Un demi-carré est donc un triangle isocèle et rectangle ; les deux angles aigus d'un tel triangle valent 45 ° (ou π/4 rad).

Définitions dérivées

On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé, en minuscules : a = BC, b = AC, c = AB.

Cercles liés à un triangle

• Un théorème de géométrie plane affirme que :

Par trois points non alignés passe un cercle et un seul.

Il existe donc un unique cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Il est appelé cercle circonscrit au triangle. Le triangle est alors dit « inscrit » dans le cercle circonscrit.

• De même, il existe un et un seul cercle contenu dans un triangle et tangent à ses trois côtés. Il est appelé cercle inscrit dans le triangle. Le triangle est alors « circonscrit » au cercle inscrit.

• Le cercle inscrit n'est pas le seul cercle tangent au triangle. Si ses côtés sont prolongés, il apparait trois autres possibilités extérieures au triangle, les cercles exinscrits.

Segments liés à un triangle

• On appelle hauteur en un point le projeté orthogonal de ce point sur le côté opposé ; ce point est souvent noté H, la longueur du segment reliant le point à sa hauteur est souvent notée h.

• On appelle médiane en un point la droite reliant ce point au milieu du côté opposé.

Rappelons enfin la définition de deux segments non spécifiques aux triangles, mais fréquemment utilisés.

• La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu ; la médiatrice est le lieu des points situés à égale distance des extrémités du côté.

• La bissectrice d'un angle est la droite divisant le secteur angulaire en deux secteurs angulaires de même angle ; les points de la bissectrice sont à égale distance des côtés adjacents au sommet concerné.

Propriétés en géométrie euclidienne

Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).

• La somme des mesures des angles est égale à 180 ° (ou π rad).

Ceci se voit aisément en traçant les parallèles aux côtés en un point (ce qui est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32). On déduit ainsi que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou π/3 rad).

• Si ABC est un triangle rectangle en A, et que b et c sont les longueurs des côtés adjacents à A, alors l'aire du triangle est b.c/2.

ABC est la moitié d'un rectangle.

• Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [BH], H étant le projeté orthogonal de B sur (AC)) et b est la longueur du segment [AC], alors l'aire du triangle vaut B.h/2.

Si H est à l'intérieur de [AC], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires.

Voir aussi l'article Aire de surfaces usuelles.

Voir la figure de la section Définitions dérivées.

• Les hauteurs issues des 3 sommets sont concourantes, et leur point de concours H  est appelé orthocentre du triangle.

• Les 3 médianes (AA' ) , (BB' )  et (CC' )  sont concourantes, et leur point de concours G  est le centre de gravité du triangle.

Il vérifie   GA = 2GA'  , GB = 2GB'   et GC = 2GC' .

• Les médiatrices des 3 côtés sont concourantes, et leur point de concours O  est le centre du cercle circonscrit.

On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.

• Les bissectrices des 3 angles sont concourantes, et leur point de concours I  est le centre du cercle inscrit.

Les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droites, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.

• Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit :

BC² = AC² + AB²

Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [BC], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Commençons par une démonstration purement géométrique :

Par définition de la médiane, M   est le milieu de [BC]   .

Le triangle rectangle ABC   est un demi-rectangle ABCD   .

Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu,

donc M , milieu de [BC]   , est aussi celui de [AD]  .

Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC  

et AM = AD / 2 = BC / 2 .

Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs :

<math>\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,</math>   et   <math>\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\,</math> ,   d'où :   <math>\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,</math>,

Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc :     AM ² = (AB ² + AC ²)/4

D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :   BC ² = AB ² + AC ²

Et finalement :   AM = BC / 2

Ceci permet de montrer que A, B et C se trouvent sur un cercle de centre M , et dont [BC] est un diamètre .

(voir aussi les propriétés du cercle)

• Théorème des milieux : une droite passant par les milieux de deux des côtés (dite droite des milieux) est parallèle au troisième côté ; c'est en fait un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.

• En géométrie dans l'espace, trois points non alignés suffisent à définir un plan, donc un triangle situé dans ce plan. Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit côtés, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...

Métrique du triangle

Notations :

p désigne le demi-périmètre du triangle : p = ( a + b + c ) / 2

S désigne la surface du triangle

R désigne le rayon du cercle circonscrit

h désigne la hauteur relative au coté BC de longueur a

r désigne le rayon du cercle inscrit

• <math>S=\frac{1}{2}bc\sin\hat A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>   (Formule de Héron)

• <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A</math>   (Théorème d'Al-Kashi, ou Théorème de Pythagore généralisé)

• <math>\frac{a}{\sin\hat A}=\frac{b}{\sin\hat B}=\frac{c}{\sin\hat C}=\frac{abc}{2S}=2R</math> (formule « des sinus »)

Avec <math>\hat A + \hat B + \hat C = \pi</math>, les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation en géodésie et astronomie.

• <math>S=\frac{ah}{2}=pr=\frac{abc}{4R}</math>

Voir aussi

• Résolution d'un triangle
• Liste des éléments remarquables d'un triangle