Transitivité (mathématiques)

Un article de Freepedia.

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Dire que la relation binaire <math>\mathcal{R}</math> définie sur un ensemble <math>E</math> est transitive signifie que :

<math>\forall (x, y, z) \in E, (x \mathcal{R} y) \and ( y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z </math>.

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»

Exemples concrets

Les relations <math>=</math>, <math>\geq</math> et <math>\leq</math> sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si <math>a = b</math> et si <math>b = c</math> alors automatiquement <math>a = c</math>.

La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.

De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, <math>(a \leq b) \and (b \leq c) \implies a \leq c</math> ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.

Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans <math>\mathbb N</math>. Cela veut dire que si <math>a \equiv b [2]</math> et si <math>b \equiv c [2]</math>, alors <math>a \equiv c [2]</math>.

Contre-exemple concret

La relation <math>\not=</math> n'est pas transitive, c'est-à-dire <math>a \not= b</math> et <math>b \not= c</math> ne permet pas de dire que <math>a \not= c</math>.