Transformée de Fourier
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La transformée de Fourier d'une fonction intégrable f est F : <math>F(s)=\mathcal{F}\{f\}(s)</math>
- <math>F(s) = \mathcal{F}\{f\}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-2i\pi sx}\, dx</math>
il s'agit d'une généralisation du développement en séries de Fourier. F est aussi parfois notée <math>\hat{f}</math> ou TF(f).
La transformation de Fourier inverse, opération notée TF -1, se calcule par :
- <math>f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(s)\, e^{2i\pi sx}\, ds</math>
ou par :
- <math>f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw</math>
En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnant une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier ».
Sommaire |
Lien entre transformation de Fourier et transformation de Laplace
<math>\mathcal{F}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f^+\}(2i\pi s) + \mathcal{L}\{f^-\}(-2i\pi s)</math>
où les fonctions <math>f^+(t)</math> et <math>f^-(t)</math> sont définies par :
<math>f^+(t) = f(t)</math> si t ≥ 0 et 0 sinon.
<math>f^-(t) = f(-t)</math> si t ≥ 0 et 0 sinon.
Parallèles avec les séries de Fourier
La transformée de Fourier est définie de façon semblable : t est remplacé par <math>n\Delta t</math> et l'intégrale par la somme. <math>X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t}</math> ↔ <math>x(f)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi ft}df</math>
On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale
Transformée
On utilise les variables normalisées suivantes :
<math>F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}</math>, <math>\Omega =e\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\delta t|_{\Delta t=1}</math>
| Transformation de Fourier (analyse) | Transformation inverse (synthèse) |
|---|---|
| <math>X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t}</math> | <math>x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df</math> |
| <math>X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t}</math> | <math>x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw</math> |
| <math>X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF}</math> | <math>x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!</math> |
| <math>X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega}</math> | <math>x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega</math> |
Voir aussi
- densité spectrale de puissance
- produit de convolution
- transformation de Fourier rapide
- transformation de Fourier discrète
- transformation de Laplace
