Transformée de Laplace

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Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 2.1 Linéarité 2.2 Dérivée 2.3 Intégrale 2.4 Valeur finale 2.5 Convolution 2.6 Transformée de Laplace d'une fonction de période p 3 Quelques transformées usuelles

Définition

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace d'une fonction <math>f(t)\,</math> définie pour tout nombre réel <math>t \ge 0\,</math> est la fonction <math>F(s)\,</math>, définie par:

<math>F(s)

 = \mathcal{L}\{f\}(s)
 =\int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>

Les propriétés de cette transformation la rendent utile pour l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation deviennent des divisions et des multiplications, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet de ramener la résolution des équations différentielles linéaires et à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de la variable s) (voir Application de la transformation de Laplace aux équations différentielles).

La transformation de Laplace est très utile pour résoudre des équations différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire.

Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler.

Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu : <math>e(t)=R \cdot i(t)+L\frac{di(t)}{dt}\,</math> dans le domaine temporel devient <math>E(p)=R \cdot I(p)+p \cdot L \cdot I(p)\,</math> dans le domaine de Laplace.

On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.

Propriétés

Linéarité

<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}

 = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
   b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>

Dérivée

<math>\mathcal{L}\{f'\}

 = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)</math>

<math>\mathcal{L}\{f\}

 = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)</math>

<math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}

 = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math>

<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}

 = -F'(s)</math>

<math>\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma</math>

Intégrale

<math>\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}

 = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>

Valeur finale

<math>\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)</math>

Convolution

<math>\mathcal{L}\{f * g\}

 = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}</math>

Transformée de Laplace d'une fonction de période p

<math>\mathcal{L}\{ f \}

 = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>

Quelques transformées usuelles

<math>\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1</math> (Dirac)

<math>\mathcal{L}\{u(t)\}= {1 \over s} </math>

<math>\mathcal{L}\{t\}= {1 \over s^2} </math>

<math>\mathcal{L}\{t^n\}= {n! \over s^{n+1}} </math>

<math>\mathcal{L}\{e^{-at}\}= {1 \over s + a} </math>

<math>\mathcal{L}\{e^{-at} t^n\}= {n! \over (s + a)^{n+1}} </math>

<math>\mathcal{L}\{\sin(\omega \cdot t)\}= {\omega \over s^2+\omega^2} </math>

<math>\mathcal{L}\{\cos(\omega \cdot t)\}= {s \over s^2+\omega^2} </math>