Torseur
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Un torseur est un objet mathématique servant en mécanique, principalement la mécanique du solide indéformable, notamment dans la modélisation des interactions entre des solides et la description de leurs mouvements.
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Définitions
Un torseur est constitué de deux champs vectoriels :
- un champ uniforme, dont la valeur en tout point est nommé résultante, notée <math>\overrightarrow{\mathcal{R}}</math> ;
- le champ des moments, dont la valeur en un point <math>P</math> est notée <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_P}</math>.
Ces deux champs sont reliés par la relation de Varignon : <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OP}</math>.
Pour définir un torseur, il suffit donc de connaître sa résultante et son moment en un point.
On écrit alors :
<math> \{\mathcal{T}\} =
\begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}} \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_O} \end{Bmatrix}_O </math>
ou, en projetant la résultante et le moment sur une base orthonormée <math>\mathcal{B}</math> :
<math>\{\mathcal{T}\} =
\begin{Bmatrix} X && L \\ Y && M \\ Z && N \end{Bmatrix}_{O, \mathcal{B}} </math>
où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment.
exemple
Formulation du Principe d'Archimède :
- Le torseur des forces de pression est égal et opposé au torseur des forces de gravité dans le fluide considéré
Autre acception
Soit G un groupe, un G-torseur (trad. littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel est définie une représentation biunivoque de G. Cela équivaut à donner G sans spécifier d'élément unité.
Les dates du calendrier en sont un exemple pour un groupe additif: additionner deux dates n'a aucun sens, leur différence par contre est un élément du groupe additif des jours. De même, l'énergie d'un système physique n'est définie que modulo une constante arbitraire.
La fibre d'un fibré principal est un G-torseur.
Définition et notation alternative
- Un torseur est une simplification, sous forme de matrice, des composantes d'une force ou d'un couple en un point.
- La notation la plus utilisée est <math>\left\{ T \right\} = \begin{Bmatrix} \vec R \\ \vec \mathcal {M} \end{Bmatrix}_O</math>, mais lorsque les composantes ne sont pas 'réellement' nécessaires, on peut utiliser la notation : <math>\mathcal {T}_{\vec R / O}</math> où <math>\vec R</math> désigne la force ou couple et O le point d'application.
Exemple d'utilisation
Soit une barre en équilibre (en O) solicitée par deux forces <math>\vec {F_1}</math>(en A) et <math> \vec {F_2} </math>(en B)
D'après Newton, pour que la barre soit en équilibre il faut que la somme des forces soit nulle et la somme des moments soit elle aussi nulle.
donc
<math>\mathcal {T}_{\vec F_1} + \mathcal {T}_{\vec F_2} + \mathcal {T}_{\vec R} = \mathcal {T}_{\vec 0}</math> (torseur nul)
Cette notation est donc equivalente à:
- <math>\vec F_1 + \vec F_2 + \vec R = \vec 0</math> et
- en 0: <math>\vec \mathcal M_{\vec F_1 / O} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / O} + \vec \mathcal M_{\vec R / O} = \vec 0</math> ou en A: <math>\vec \mathcal M_{\vec F_1 / A} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / A} + \vec \mathcal M_{\vec R / A} = \vec 0</math>
