Théorie des probabilités

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La théorie des probabilités est l'étude mathématique des probabilités.

Les théorèmes de base des probabilités peuvent être démontrés à partir des axiomes des probabilités et de la théorie des ensembles.

Les théorèmes suivants supposent que l'univers Ω est dénombrable, ce qui n'est pas toujours le cas comme par exemple dans l'étude d'une variable aléatoire qui suit une loi normale.

1. La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.
2. Pour tous évènements arbitraires A₁ et A₂, la probabilité pour que les évènements se réalisent simultanément est donnée par la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires inclus à la fois dans A₁ et A₂. Si l'intersection est vide, alors la probabilité est égale à zéro.
3. Pour tous évènements arbitraires A₁ et A₂, la probabilité pour que l'un ou l'autre des évènements se réalise est donnée par la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires inclus dans A₁ ou A₂.

Les formules suivantes expriment mathématiquement les propriétés ci-dessus :

<math> \sum_{\omega\in\Omega} P\left(\left\{\omega\right\}\right) = P\left(\bigcup_{\omega\in\Omega}\left\{\omega\right\}\right)= 1</math>

<math>P\left[A_1 \cap A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cap A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)</math>

<math>P\left[A_1 \cup A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cup A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)</math>

La probabilité pour qu'un évènement se réalise, sachant qu'un autre s'est réalisé auparavant, peut être calculée en utilisant la probabilité conditionnelle.

Voir aussi: probabilité, axiomes des probabilités, loi de probabilité