Groupe (mathématiques)
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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication, ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et physique.
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Définitions
La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles ; c'est-à-dire que c'est un ensemble <math>\mathcal{G}</math> muni d'une loi de composition interne <math>\star</math> qui satisfait les axiomes suivants:
g' \star g
e</math>, g' est dit inverse de g et on le note aussi <math> g^{-1} </math> ;- associativité : <math> \forall g, g', g \in \mathcal{G}, g \star (g'\star g) =
(g\star g')\star g </math>.
Lorsque G est un ensemble fini, on dit que G est un groupe fini ; sinon on dit que G est un groupe infini. Pour un groupe fini, l'ordre de ce groupe est le nombre de ses éléments.
En terme de variété équationelle, un groupe est une donnée <math> (\mathcal{G},\star,e,f) </math> (où G est un ensemble non-vide, <math>\star</math> une loi de composition interne de <math>\mathcal{G}</math>, e un élément de G et f une application de G dans G) soumise aux axiomes suivants :
- <math>\forall g \in \mathcal{G}, g\star e = e\star g = g</math> ;
- <math>\forall g \in \mathcal{G}, g \star f(g)
f(g) \star g
e</math> ;- <math> \forall g, g', g \in \mathcal{G}, g \star (g'\star g) =
(g\star g')\star g </math>.
Commutativité
Si deux éléments g et g' d'un groupe G vérifient <math> g\star g'=g'\star g </math>, on dit alors qu'ils commutent.
Si en plus l'opération <math>\star</math> est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux, le groupe lui-même est dit commutatif, ou abélien.
Attention : en général, les groupes ne vérifient pas cette propriété ! Il faut donc prendre garde à l'ordre dans lequel on écrit les produits !
Conventions
L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite).
Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à-dire en écrivant <math> g g' </math>, <math> g.g' </math> ou <math> g\cdot g' </math> pour <math> g\star g' </math>, ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi 1 l'élément neutre.
Cependant quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi + et l'élément neutre 0. Noter un groupe non-commutatif avec une loi + est un interdit tacite.
Exemples
- l'ensemble <math>\mathbb Z</math> des entiers relatifs est un groupe pour l'addition ;
- les permutations d'un ensemble forment un groupe pour la composition ;
- lorsqu'on a un groupe, on peut en construire un autre en considérant ses automorphismes, qui forment un groupe pour la composition ;
- plus généralement, les automorphismes d'une structure algébrique forment un groupe pour la composition ;
- l'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) muni de l'addition ;
- l'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) inversibles muni de la multiplication ;
- l'ensemble des matrices carrées, orthogonales muni de la multiplication ;
- l'ensemble des isométries du plan (ou d'un quelconque espace affine euclidien) muni de la loi de composition.
Contre-exemples :
- l'ensemble <math>\mathbb N</math> muni de l'addition (les inverses des éléments de <math>\mathbb N</math> ne sont pas dans <math>\mathbb N</math>) ;
- l'ensemble des matrices carrées muni de la multiplication (toutes les matrices ne sont pas inversibles);
- l'ensemble des homothéties du plan muni de la composition (les homothéties de rapport zéro ne sont pas inversibles);
Ces trois derniers exemples sont des monoïdes et pas des groupes, par lacune de l'inversibilité.
Sous-groupe
Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois H<G. On montre aisément qu'un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse : <math> \forall x,y \in \mathcal{H}, x\star y^{-1} \in \mathcal{H} </math>.
Exponentiation par un entier, ordre d'un élément
Définition de l'exponentiation
On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés n un entier relatif, et g un élément d'un groupe (G,∗,1), on pose :
- <math> g^n = g\star g\star \ldots \star g</math> (où g apparaît n fois à droite) si n>0,
- <math> g^n = (g^{-n})^{-1}</math> si <math>n<0</math>, et
- <math> g^0 = 1</math>.
Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément.
Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes: <math> \forall m,n \in \mathbb{Z}, \forall g \in \mathcal{G}</math> :
- <math> g^{m+n} = g^n \star g^m</math> ;
- <math> (g^m)^n = g^{m n}</math>.
Attention : on n'a <math> (g\star g')^n = g^n \star g'^n</math> pour tous <math> g, g' \in \mathcal{G}, n \in \mathbb{Z}</math> que si le groupe est commutatif. Cependant, si g et g' commutent, on a bien <math> (g\star g')^n = g^n \star g'^n</math> pour tous <math>n \in \mathbb{Z}</math>.
On dit d'un élément g d'un groupe qu'il est nilpotent s'il existe un entier non nul n tel que <math> g^n =1</math>.
Ordre d'un élément
Si on se fixe <math> g \in \mathcal{G}</math>, cette loi externe, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes : <math> \mathbb{Z}\rightarrow \mathcal{G}</math>, via : <math> n \mapsto g^n </math>. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de <math> \mathbb{Z} </math>, de la forme <math> o\mathbb{Z} </math> (petit o, et non zéro), avec <math> o \in \mathbb{N} </math> ; si cet entier o est nul on dit que g est d'ordre infini, sinon on dit qu'il est d'ordre o.
Exemples
- 0 est d'ordre 1 dans <math>\mathbb Z</math> (de manière générale, le seul élément d'ordre 1 est l'élément neutre !!) ;
- 1 est d'ordre infini dans <math>\mathbb Z</math> ;
- 1 est d'ordre n dans <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> ;
- une involution non-triviale (différente de l'élément neutre) est d'ordre 2.
Sous-groupe distingué
Soient <math> G </math> un groupe et <math> H </math> un sous-groupe de <math> G </math>, on dit que <math> H </math> est ditingué dans <math> G </math> (ou normal dans <math> G </math>) si et seulement si <math> \forall g \in G \quad g^{-1}Hg \subseteq H </math>. Remarque : dans le cas où <math> G </math> est commutatif, tous les sous-groupes de <math> G </math> sont distingués dans <math> G </math>.
Si <math>H</math> est un sous-groupe distingué de <math>G</math>, on définit alors sur <math>G</math> la relation d'équivalence <math>\mathcal R</math> suivante : <math>x\mathcal Ry</math> ssi <math>xy^{-1}\in H</math>. On peut alors faire le quotient suivant <math>\frac G \mathcal R</math>, noté <math>\frac G H</math>, qui sera muni d'une structure de groupe induite par celle de <math>G</math>.
Exemples
- Dans le groupe <math>\mathbb Z</math> un sous-groupe, qui est forcément de la forme <math>n\mathbb Z</math> pour <math>n</math> entier, permet de définir le groupe quotient <math>\frac Z {n\mathbb Z}</math> qui est isomorphe au groupe cyclique à <math>n</math> éléments.
- On appelle <math>S_n</math> le groupe des permutations de <math>n</math> éléments. <math>A_n</math> le sous-groupe des permutations paires. Alors <math>A_n</math> est distingué dans <math>S_n</math> et <math>\frac {S_n} {A_n}</math> est isomorphe à <math>\frac\mathbb Z{2\mathbb Z}</math>.
- Dans le groupe des "quaternions", <math>\left(\left\{1,-1,i,j,k,-i,-j,-k\right\},\times\right)</math> le groupe <math>\left\{1,-1\right\}</math> est distingué et le quotient est isomorphe au groupe <math>\frac \mathbb Z {2\mathbb Z} \times \frac \mathbb Z {2\mathbb Z}</math>, qui d'ailleurs n'est isomorphe à aucun des sous-groupes des quaternions.
- Dans un groupe tout sous-groupe d'indice <math>2</math> (on dit que <math>H</math> sous-groupe de <math>G</math> est d'indice <math>2</math> si <math>\frac{|G|}{|H|}=2</math>) est distingué et le groupe quotient est alors isomorphe à <math>\frac \mathbb Z {2\mathbb Z}</math>, ce qui est le cas du groupe <math>A_n</math> dans <math>S_n</math> définis dans un exemple précédent.
- On définit le groupe dérivé du groupe <math>\left(G,*\right)</math> par le groupe engendré par les éléments de la forme <math>xyx^{-1}y^{-1}</math>. Le groupe dérivé de <math>G</math> est distingué dans <math>G</math> et son quotient est commutatif (ou abélien). De plus si un sous-groupe de <math>G</math> vérifie le fait que le quotient de <math>G</math> par ce sous-groupe est commutatif alors il contient le groupe dérivé.
- On définit aussi le centre d'un groupe par l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres. C'est là aussi un sous-groupe distingué.
Histoire
Une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Euler, Carl Friedrich Gauss.
Voir aussi
- groupe fini
- action de groupe
- théorie de Galois
- groupe sporadique
- génération d'un groupe
- groupes de Lie
