Théorème de Taylor

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En analyse, le théorème de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

De manière plus précise : si n est un entier naturel et f est une fonction définie sur un intervalle I contenant a et telle que <math>f^{(n)}(a)\,</math> existe, alors <math>

 f(x) = f(a)
 + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
 + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
 + \cdots
 + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
 + R(x)

</math>

Ici, n! désigne la factorielle de n, et R(x) est un reste qui dépend de x et est petit si x est assez proche de a.

Taylor ne s'est pas vraiment préoccupé de la forme du reste, il faut attendre ses successeurs pour voir se développer une maîtrise du reste dans certaines conditions plus précises.

Formule de Taylor-Young : Pour une fonction telle que <math>f^{(n)}(a)\,</math> existe

Formule de Taylor-Lagrange: pour une fonction n+1 fois dérivable sur I
- <math>

 R(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

</math> où ξ est un nombre compris entre a et x

- S'il existe M tel que <math>|f^{(n+1)}(x)| \leq M</math> pour tout x de I : <math>|R(x)| \leq \frac{M(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}</math>
Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) : pour une fonction n+1 fois dérivable sur I

<math>

 R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt

</math>

Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque a = 0, la formule devient plus simple

<math>

 f(x) = f(0)
 + \frac{f'(0)}{1!}x
 + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
 + \cdots
 + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
 + R(x)

</math>

Si R est exprimé sous la première forme, appelée forme de Lagrange, le théorème de Taylor représente une généralisation du théorème des accroissements finis (qui peut être utilisé pour démontrer cette version), tandis que la seconde expression de R montre que le théorème est une généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (qui est utilisé dans la démonstration de cette version).

Pour certaines fonctions f, nous pouvons montrer que le reste R tend vers zéro quand n tend vers ∞; ces fonctions peuvent être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a et sont appelées des fonctions analytiques.

Le théorème de Taylor (avec reste intégral) est aussi valable si la fonction f est à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel. De plus, il existe une version du théorème de Taylor pour les fonctions à plusieurs variables.