Théorème de Pythagore

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Image:Kapitolinischer Pythagoras.jpg

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce une relation entre les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire d'un triangle qui possède un angle droit.

Sommaire

Histoire

Énoncé

L’original

Image:Pythagorean.png Ce résultat est déjà connu des Babyloniens sous sa forme numérique, mille années avant Pythagore — philosophe et mathématicien Grec du VIe siècle avant notre ère — dont on pense qu'il connaissait aussi ce théorème. Euclide fut le premier à donner une démonstration, ce qu’on trouve dans le premier livre de ses Éléments, proposition XLVII. Voici l'énoncé du théorème selon Euclide:

Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés.

Nous pouvons formuler cet énoncé plus abstraitement, ainsi:

Si c est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle et les longueurs des deux autres côtés sont a et b, alors <math>c^2 = a^2 + b^2</math>.

Variations et généralisations

Euclide aussi démontra, dans la proposition XLVIII du livre I, la réciproque du théorème de Pythagore :

Si le carré de l'un des côtés d'un triangle, est égal aux carrés des deux autres côtés ; l'angle soutenu par ces côtés est droit.

Nous pouvons conclure du théorème et sa réciproque cette généralisation :

Si un triangle a des côtés de longueur a, b et c, ce triangle est rectangle si et seulement si le carré de l'hypoténuse est égal aux carrés des deux autres côtés

En faisant intervenir le concept de vecteur, on peut reformuler le théorème comme suit :

Étant donnés deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math>, <math>\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert^2 = \Vert\vec{u}\Vert^2 + \Vert\vec{v}\Vert^2</math> si et seulement si <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> sont orthogonaux.

De manière générale, on a simplement l'inégalité triangulaire :

<math>||\vec{u} + \vec{v}||^2 \le ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||</math>

que l'on écrit en général

<math>||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||.</math>

Démonstration

C'est sans doute le théorème qui possède le plus grand nombre de preuves connues (la loi de réciprocité quadratique se distingue aussi dans ce domaine). En voici deux :

La preuve selon Euclide

Image:Prop35.png

Avant de faire la démonstration, il faut prouver deux propositions. La première proposition qu'il nous faut prouver (proposition XXXV dans le 1er livre des Éléments) s'agit de l'équivalence de deux parallélogrammes de même base et de même hauteur :

Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes paralleles, sont égaux entre eux.

Considérons les deux parallélogrammes ABCD et BCFE, les deux sur la même base, BC, et entre les mêmes paralleles, BC et AF. Observez que AD est égal à BC (car ce sont les deux bases du parallélogramme ABCD), et BC est égal à EF (car ce sont les deux bases du parallélogramme BCFE), alors AD est égal à EF.

Or, il n'y a que trois possibilités (montrées dans l'image) pour la position du point E rélatif à D ; E peut être à la gauche de D, au point D, ou à la droite de D. Examinons chaque cas:

  1. Si E tombe à la gauche de D, ED est la partie commune de AD et EF, alors il est possible de vérifier que AD et EF sont égaux. Mais notez que les côtés AB et DC sont égaux, car ils sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD. Aussi, parce que les points A, E, D et F sont collinéaires, les angles BAE et CDF sont égaux. Par conséquent, les triangles BAE et CDF sont égaux, parce que deux côtés de l'un sont égaux à deux côtés de l'autre, et un angle est commun. Donc les parallélogrammes ABCD et CDFE ne sont que des différents rangements du trapèze BEDC et le triangle BAE (ou CDF). CQFD
  2. Si E tombe au point D, on trouve d'une façon semblable à 1 que les triangles BAE et CDF sont égaux, et alors qu'il est possible d'obtenir les parallélogrammes ABCD et BCFE en ajoutant à la partie commune BCD le triangle BAE (ou bien CDF). CQFD
  3. Si E tombe à la droite de D, notez que, parce que les segments AD et EF sont égaux, en ajoutant à chacun la ligne DE, nous trouvons que AE et DF sont égaux. Par un argument semblable à ceux utilisés dans les cas 1 et 2, il est possible de prouver que les triangles BAE et CDF, et par conséquent les trapèzes BADG et CGEF, sont égaux. Alors, il est évident que les parallélogrammes ABCD et CDFE sont obtenus en ajoutant au triangle commun BCG le trapèze BADG (ou CGEF). CQFD

Le remplacement d'un parallélogramme par un autre de même base et même hauteur, justifié par cette proposition, se connait dans les mathématiques comme le cisaillement. Le cisaillement sera très important dans la preuve de la proposition suivante :

Image:Prop41.png
Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle.

Considérons un parallélogramme ABCD, et soit E un point sur l'extension de AD. Nous voulons démontrer que l'aire de ABCD est deux fois l'aire de BEC. Faisant la diagonale AC, nous voyons que l'aire de ABCD est deux fois l'aire de ABC. Mais, l'aire du triangle ABC est égale à l'aire du triangle BEC, car ils ont la même base. Alors, deux fois l'aire de BEC égale deux fois l'aire de ABC, c'eat-à-dire l'aire de ABCD. Nous avons montré que ABCD (qui est double de ABC) est double de BEC. CQFD

Image:Preuveeuclide.png

Maintenant, nous pouvons continuer la démonstration.

Considérons le triangle ABC. Soient BCED, ABFG et ACIH les carrés des côtés BC, AB et AC, chacun au sien. Ce que nous voulons démontrer est que BCED est égal à ABFG et ACIH. Nous prouvons ce fait en démontrant que le carré AF égale le rectangle BK et le carré AI égale le rectangle CK.

Pour démontrer la première égalité, notons que les côtés FB et BC sont égaux aux côtés AB et BD, respectivement. Parce que les angles ABF et CBD sont égaux, les angles FBC (FBA + ABC) et ABD (ABC + CBD) sont égaux. Par conséquent, les triangles FBC et ABD sont égaux aussi. Or, notez que, par la proposition XLI, le carré AF est double du triangle FBC et le rectangle BK est double du triangle ABD. Mais FBC et ABD sont égaux, alors double de FBC, ou AF, égale double de ABD, ou BK.

La seconde égalité se prouve d'une manière semblable : Observant que IC et CB égalent AC et CE, respectivement, et que l'angle ICB égale l'angle ACE, nous concluyons que les triangles ICB et ACE sont égaux. Puis, sachant que le carré AI est double de ICB et le rectangle CK est double de ACE, et que le triangle ICB et égal au triangle ACE, nous voyons que double de ICB, ou AI, est égal au double de ACE, ou CK.

En conséquence, BCED égale ABFG et ACIH, puisque A(B)F(G) égale BK et A(C)I(H) égale CK, et BCED égale BK et CK. CQFD

Sous cette forme, le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème de Clairaut

Une preuve moderne

Image:Pythagoras.png

Considérons un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Ensuite recopions ce triangle trois fois et plaçons le triangle et ses copies de manière à avoir le côté a de chacun aligné au côté b d’un autre, et pour que les jambes des triangles forment un carré dont le côté est <math>a+b</math>, comme dans l'image. Puis, nous essayons de trouver l'aire du carré formé par les côtés c. Évidemment, c'est <math>c^2</math>, mais c'est aussi égal à la différence entre l'aire du carré extérieur et la somme des aires des triangles. L'aire du carré est <math>(a+b)^2</math> (car son côté est <math>a+b</math>) et l'aire totale des triangles est quatre fois l'aire d'un seul, c'est-à-dire <math>4 (ab/2)</math>, donc la différence est <math>(a+b)^2 - 4 (ab/2)</math>, ce qu'on peut simplifier comme <math>a^2 + 2ab + b^2 - 2ab</math>, ou bien <math>a^2 + b^2</math>. Nous avons démontré que l'aire du carré de côté c est égale à <math>a^2+b^2</math> ; en effet, <math>c^2 = a^2+b^2</math>. CQFD

Il faut noter que cette démonstration ne fonctionne pas dans une géométrie non euclidienne, car sur une sphère, par exemple, la somme des angles d'un triangle vaut plus que 180 degrés, et puis le carré de côté c ne peut être formé.

Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore ; le vingtième président des États-Unis d'Amérique, James Garfield en développa une lui-même. L'une des plus intéressantes est la preuve calculatoire basée sur la formule d'Euler. (Voir les liens externes ci-dessous pour une présentation de différentes preuves du théorème de Pythagore).

Cas particuliers

Le cas le plus simple est :

32 + 42 = 52

Cette « règle de 3-4-5 » vous permet de construire un angle droit, par exemple dans la campagne avec une simple corde.

Voir triplet pythagoricien.

Théorème de Pythagore dans un espace préhilbertien

Le théorème de Pythagore découle en fait directement de la définition du produit scalaire, et se généralise à tout espace préhilbertien. Dans ce cadre général, il affirme que si <math>u</math> et <math>v</math> sont deux vecteurs orthogonaux, alors <math>\left\Vert u\right\Vert^2 + \left\Vert v\right\Vert^2 = \left\Vert u+v\right\Vert^2</math>. La réciproque est vraie dans le cas réel.

De plus, cette formule se généralise à une famille de vecteurs orthogonaux. Pour elle, la somme des carrées des normes est égale au carré de la norme de la somme.

Variations sur le théorème

La contraposée du théorème affirme ceci :

Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient <math>AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!</math>, alors le triangle n'est pas rectangle en C.

Notons que la contraposée est logiquement équivalente au théorème direct, elle n'a en revanche pas le même usage en démonstration puisque le théorème sert à calculer le troisième côté manquant d'un triangle rectangle alors que la contraposée sert à démontrer qu'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés n'est pas rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore (la proposition 47 du premier livre des Éléments d'Euclide) est également vraie :

Si le carré du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse étant le premier côté cité).

Autre formulation :

Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient <math>AB^2=AC^2+CB^2\,\!</math> alors le triangle est rectangle en C.

Ceci peut être prouvé en utilisant la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi, déjà connu d'Euclide dans ses Éléments : les propositions 12 et 13 du livre II) qui est une généralisation du théorème de Pythagore appliquée à tous les triangles (euclidiens).

Enfin, la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore stipule ceci :

Si le triangle ABC n'est pas rectangle en C alors <math>AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!</math>

Autres usages

  • Une autre généralisation du théorème de Pythagore fut déjà énoncée par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI) :
Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit.

Autrement dit :

Si on érige des figures semblables (voir géométrie) sur les côtés d'un triangle droit, alors la somme des aires des deux plus petites figures égale l'aire de la plus grande.
  • En coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore permet d'exprimer la distance entre deux points du plan : ainsi, si <math>(x_a, y_a)</math> et <math>(x_b, y_b)</math> sont des points du plan euclidien, la distance les séparant est donnée par :
<math> \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2}. </math>
<math> \sqrt{\sum_{k=1}^{k=n}{(x_k-y_k)^2}}. </math>
  • Le théorème de Pythagore se généralise aussi dans les simplexes de plus haute dimension. Si un tétraèdre possède un coin formé d'angle droit (un coin de cube), alors le carré de l'aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Gua.

Espace physique

Comme le théorème de Pythagore est dérivé d'axiomes de la géométrie euclidienne, et que les espaces physiques ne sont pas toujours euclidiens, il ne doit pas être valide pour les triangles dans les espaces physiques. L'un des premiers mathématiciens à réaliser ceci fut Carl Friedrich Gauss, qui mesura donc attentivement de grands triangles rectangles dans le cadre de son étude géographique afin de vérifier ce théorème. Il ne trouva aucun contre-exemple avec sa précision de mesure. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l'énergie conduisent l'espace à être non-euclidien et le théorème ne s'applique donc pas strictement en présence d'énergie. Cependant, la déviation par rapport à l'espace euclidien est faible sauf près d'imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d'importantes échelles cosmologiques, c'est-à-dire mesurer la courbure de l'Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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