Théorème de Mahler

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En notation de combinatoire, qui est en conflit avec celle utilisée en théorie des fonctions spéciales, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indicée :

<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)\,</math>.

Noté par <math>\Delta\,</math>, l'opérateur différentiel avancé défini par

<math>(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,</math>.

Alors nous avons

<math>\Delta(x)_n=n(x)_{n-1}\,</math>

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur <math>\Delta\,</math> et cette suite de polynôme est plus fort qu'entre la différentiation et la suite dont le n-ième terme est <math>x^n\,</math>.

Le théorème de Mahler, nommé en l'honneur de Kurt Mahler (1903 - 1988), dit que si f est une fonctions continue à valeurs p-adiques d'une variable p-adique, alors l'analogie se maintient :

<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\Delta^k f)(0)}{k!}(x)_k\,</math>.

Il est remarquable qu'une supposition aussi faible sur la continuité soit suffisante.

C'est un fait d'algèbre que si f est une fonction polynôme avec des coefficients dans n'importe quel corps précisé, la même identité reste valable.