Théorème de Löwenheim-Skolem

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Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur (avec le théorème de compacité).

Soit T une théorie du premier ordre.

Théorème (Löwenheim-Skolem) : si T admet un modèle infini, ou des modèles finis arbitrairement grands, elle admet un modèle de n'importe quel cardinal plus grand que celui de T.

En particulier, quand T est finiment axiomatisable, et admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable.

Preuve. Avec des modèles finis arbitrairement grands, on peut ajouter des constantes <math>c_i</math> à la théorie, avec les règles <math>c_i \neq c_j</math>. Toute partie finie de la théorie admet un modèle; par compacité, on obtient un modèle infini.

Si le modèle est infini, le théorème de Löwenheim permet d'augmenter son cardinal à n'importe quel cardinal supérieur.