Théorème de Cox-Jaynes
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Le théorème de Cox-Jaynes, dû dans sa version originale au physicien Richard Cox, est une dérivation des lois de la théorie des probabilités à partir d'un certain ensemble de postulats. Cette dérivation justifie une interprétation « logique » des probabilités.
Sommaire |
Problèmes de validité de la démarche inductive avant Cox
Réserves de Bertrand Russell
Dans le chapitre « La science est-elle superstitieuse ? » de son ouvrage Science et religion, Bertrand Russell énonce le problème - il ose même le mot de scandale - posé par l'induction :
- Au nom de quoi généraliser que ce qui a été vérifié dans un nombre limité de cas se vérifiera aussi dans les cas qui n'ont pas été testés ?
- Au nom de quoi supposer, même sur ce qui a été mesuré, que ce qui a été vrai hier le sera toujours demain ?
Paradoxe de Hempel
Ce paradoxe se trouve décrit en détail dans la section Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre.
Les « desiderata » (axiomes)
Cox cherche à poser les desiderata souhaitables pour un robot qui raisonnerait selon une logique inductive :
Les degrés de plausibilité sont représentés par des nombres réels
- Il faut bien en effet pouvoir à tout moment dire de deux plausibilités laquelle est plus grande que l'autre, ce qui suggère une représentation quantitative, et la forme numérique semble commode.
- Une représentation entière poserait un problème de bruit discret, aucune plausibilité ne pouvant se glisser entre deux représentées par des entiers successifs.
- Des rationnels conviendraient certes, mais si tous les réels ne sont pas des rationnels, tous les rationnels sont en revanche bien des réels.
La convention adoptée, arbitrairement, est que des plausibilités plus grandes seront représentées par des nombres plus grands.
Les règles d'inférence ne doivent pas contredire les règles d'inférence communes
En d'autres termes, ce qui nous paraît évident ne doit pas être contredit par le modèle (à la différence de ce qui se passe avec le Paradoxe de Condorcet).
Exemple :
- si A est préférable à B,
- et B préférable à C,
- toutes choses égales par ailleurs et en l'absence de B, A doit être préféré à C.
Pour les cinq sections suivantes, toutes les formules sont ici :
- Cox-Jaynes (PDF)
<! Quelqu'un peut-il les traduite en TeX ??? >
Règle de cohérence
Si une conclusion peut être obtenue par plus d'un moyen, alors tous ces moyens doivent bien donner le même résultat.
Règle d'honnêteté
Le robot doit toujours prendre en compte la totalité de l'information qui lui est fournie. Il ne doit pas ignorer délibérément une partie d'entre elles et fonder ses conclusions sur le reste. En d'autres termes, le robot doit être totalement non idéologique, neutre de point de vue.
Règle de reproductibilité
Le robot représente des états de connaissance équivalents par des plausibilités équivalentes. Si deux problèmes sont identiques à un simple étiquetage de propositions près, le robot doit assigner les mêmes plausibilités dans les deux cas.
Les règles quantitatives (lois de composition interne)
La règle de somme
La règle de produit
Liens externes
Les résultats
Exemple
La notation d'I.J Good (weight of evidence)
Image:Bayes-EvidenceVsProbability- François-Dominique.png Alan Turing avait fait remarquer en son temps que l'expression des probabilités était beaucoup plus facile à manier en remplaçant une probabilité p variant de 0 à 1 par l'expression ln (p/(1-p)) variant entre moins l'infini et plus l'infini. En particulier, sous cette forme, un apport d'information par la règle de Bayes se traduit par l'ajout d'une quantité algébrique unique à cette expression (que Turing nommait log-odd), cela quelle que soit la probabilité a priori de départ avant l'observation.
en décibels (dB)
Irving John Good reprit cette idée, mais pour faciliter le travail avec ces nouvelles quantités :
- utilisa un logarithme décimal plutôt que naturel, afin que l'ordre de grandeur de la probabilité associée apparaisse à simple lecture.
- adopta un facteur 10 afin d'éviter la complication de manier des quantités décimales, là où une précision de 1% suffisait.
Il nomma la mesure correspondante, W = 10 log10 (p/(1-p)), weight of evidence parce qu'elle permettait de « peser » le témoignage des faits en fonction des attentes - manifestées par des probabilités « subjectives » antérieures à l'observation - de façon indépendante de ces attentes.
en bits
Les évidences sont parfois exprimées aussi en bits, en particulier dans les tests de validité de lois scalantes. Quand une loi comme la loi de Zipf ou de Mandelbrot s'ajuste en effet mieux aux données qu'une autre loi ne nécessitant pas de tri préalable, il faut en effet tenir compte du fait que ce tri a représenté un apport d'information de l'ordre de N log2N et que c'est peut-être lui seul qui est responsable de ce meilleur ajustement ! Si le gain d'évidence apporté par le tri représente moins de bits que celui qu'a coûté le tri, cela signifie que l'information apportée par la considération d'une loi scalante est en fait nulle.
Conséquences du théorème
Unification de l'algèbre de Boole et de la théorie des probabilités
On remarque que l'algèbre de Boole est isomorphe à la théorie des probabilités réduite aux seules valeurs 0 et 1.
- Et logique = produit de probabilités
- Ou logique = sup de deux probabilités
- Non logique = inversion d'une probabilité (p -> 1-p)
Cette considération conduisit à l'invention dans les années 1970 des calculateurs stochastiques promus par la société Alsthom (qui s'écrivait avec un h à l'époque) et qui entendaient combiner le faible coût des circuits de commutation avec la puissance de traitement des calculateurs analogiques. Quelques-uns furent réalisés à l'époque.
