Tenseur de Ricci

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La théorie de la relativité générale interprète le champ de gravitation comme une déformation de l'espace-temps. Dans les expressions qui suivent, nous utiliserons la convention de sommation d'Einstein, les indices répétés seront des indices de sommation : <math>x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x_{\mu}x^{\mu}</math>

Les coefficients de Christoffel s'expriment : <math>\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\frac{1}{2}g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta}+\partial_{\beta}g_{\alpha\delta}-\partial_{\delta}g_{\alpha\beta})</math>

L'équation d'une particule libre s'écrit : <math>\frac{d^2x^\alpha}{ds^2}+\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}\frac{dx^\beta}{ds}\frac{dx^\gamma}{ds}=0</math>

Le tenseur de courbure s'exprime : <math>R_{\alpha\beta\gamma}^{\delta}=\partial_{\alpha}\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}-\partial_{\beta}\Gamma_{\alpha\gamma}^{\delta}+\Gamma_{\alpha\varepsilon}^{\delta}\Gamma_{\beta\gamma}^{\varepsilon}-\Gamma_{\beta\varepsilon}^{\delta}\Gamma_{\alpha\gamma}^{\varepsilon}</math>

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci : <math>R_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta\gamma}^{\gamma}</math>

L'invariant de courbure s'écrit : <math>R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}</math>