Table de Karnaugh
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Cet article explique ce qu'est un tableau de Karnaugh, seulement dans une application logique binaire. Cet article n'explique pas les principes de base de la logique. Pour cela, voir l'article Fonctions logiques.
Un tableau de Karnaugh sert à simplifier des équations logiques ou à trouver l'équation logique correspondant à une table de vérité. La méthode utilisée est graphique et simple. Elle utilise également le binaire réfléchi ou Code Gray.
Sommaire |
Principe
Le tableau de Karnaugh est un tableau étudié pour pouvoir trouver la plus simple équation d'une table de vérité. Elle se présente comme ceci :
| S | CD | 00 | 01 | 11 | 10 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| AB | |||||||||
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||||
| 01 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||
| 11 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||
| 10 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Bien sûr, il peut y avoir plus ou moins de 4 variables (Ici A, B, C et D).
- La colonne 1 correspond aux valeurs de S pour C=0 et D=0
- La colonne 2 correspond aux valeurs de S pour C=0 et D=1
- La colonne 3 correspond aux valeurs de S pour C=1 et D=1
- La colonne 4 correspond aux valeurs de S pour C=1 et D=0
- La ligne 1 correspond aux valeurs de S pour A=0 et B=0
- La ligne 2 correspond aux valeurs de S pour A=0 et B=1
- La ligne 3 correspond aux valeurs de S pour A=1 et B=1
- La ligne 4 correspond aux valeurs de S pour A=1 et B=0
Ainsi, la case de la colonne 2 de la ligne 4 correspond à la valeur de S pour laquelle A=1, B=0, C=0 et D=1. Sa valeur peut-être trouvée dans la table de vérité ou par une équation à simplifier. On remplit de cette manière le tableau de Karnaugh.
Les valeurs du tableau de Karnaugh correspondent au valeurs de la table de vérité suivante :
| A | B | C | D | S | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Méthode de recherche de l'équation
Pour trouver l'équation de S, c'est simple. Il y a deux méthodes :
- Former une somme
- Former un produit
La somme
Pour trouver une somme, il faut regrouper les valeurs de S égales à 1. Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais il doivent englober tous les 1. Un 1 peut être compris dans plus d'un groupe, mais un 0 ne doit être inclus dans aucun. Il doivent être composé de colonne(s) et/ou de ligne(s). Si possible, il faut les assembler par valeurs d'entrées communes. Par exemple la colonne 2 et la colonne 3 ont pour valeur commune D=1. La ligne 1 et la ligne 4 ont la valeur B=0 en commun;
Pour les tables de 4 variables, il faut faire de préférence :
- le rectangle 16 cases,
- puis les rectangles 8 cases,
- puis les rectangles 4 cases,
- puis les rectangles 2 cases,
- et enfin les cases uniques.
Dans l'exemple pris ci-dessus, On peut former un rectangle de 8 cases, puis un de 4 : le rectangle des colonnes 2 et 3 et le carré au croisement des lignes 2-3 et des colonnes 3-4. Le rectangle correspond à l'équation « D » car dans ces deux colonnes, D est toujours égal à 1, et dans ces deux colonnes uniquement. Le carré correspond à l'équation « B·C » car dans ces cases et dans ces cases seulement B=1 et C=1. On fait ensuite la somme des deux équations et on obtient pour équation de S : « S = D + B·C ».
Cette méthode, une fois assimilée, permet de trouver une équation au premier coup d'œil, et propose une alternative simple à la simplification d'équation, qui peut rapidement devenir fastidieuse.
Le Produit
Cette méthode a pour but non pas de regrouper les « 1 » mais les « 0 », pour trouver non pas une somme de produits mais un produit de sommes.
Utilisation
Les tables/tableaux de Karnaugh sont surtout utilisé(e)s en électronique. En effet, la simplification de l'expression algébrique booléenne permet d'économiser des opérateurs logiques (portes logiques) et donc des circuits. Elle engendre aussi une économie de temps de conception et de fonds, tout en augmentant la fiabilité de l'ensemble.
