Système dynamique
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En ingénierie, en physique et en mathématiques, un système dynamique est un système déterministe, c’est-à-dire que son avenir et son passé sont complètement déterminés par son état présent.
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Une méthode de calcul universelle
La méthode de calcul pour prévoir l'avenir des systèmes déterministes a été inventée par Newton (Principe fondamental de la dynamique) et Leibniz (Calcul infinitésimal). Newton l'a appliquée avec succès au mouvement des planètes et de leurs satellites. Depuis elle est devenue l’une des grandes méthodes de prévision des mathématiques appliquées. Sa portée est universelle. Tout ce qui est matériel, tout ce qui est en mouvement, peut être étudié avec les outils de la théorie des systèmes dynamiques. Mais il ne faut pas en conclure que pour connaître un système il est nécessaire de connaître sa dynamique. Sinon on ne pourrait pas connaître beaucoup de choses.
Les états dynamiques
Il faut faire attention au sens très particulier que prend la notion d’état pour la théorie des systèmes dynamiques. Un paradoxe de Zénon permet de présenter la difficulté. Zénon demandait : “Soit une flèche en vol. À un instant, est-ce qu’elle est au repos ou en mouvement ?” Si on répondait qu’elle est en mouvement il disait “Mais être en mouvement, c’est changer de position. À un instant, la flèche a une position, elle n’en change pas. Elle n’est donc pas en mouvement.” Si on répondait qu’elle est au repos il disait “Mais si elle est au repos à cet instant, elle est aussi au repos à tous les autres instants, elle est donc toujours au repos. Elle n’est jamais en mouvement. Mais comment alors peut-elle passer d’une position à une autre ?” Il en concluait qu’il n’est pas possible de dire des vérités sur ce qui est en mouvement. Tout ce qui est en mouvement serait par nature mensonger et il n’y aurait pas de vérités à propos de la matière mais seulement à propos des grandes idées, pourvu qu’elles soient immuables. L’opinion commune est exactement inverse. On croit plus couramment à la vérité de ce qu’on voit qu’aux vérités métaphysiques. La théorie des systèmes dynamiques rejoint l’opinion commune sur ce point.
La notion d’état dynamique fournit une solution au paradoxe de Zénon : à un instant, la flèche est en mouvement, elle a une position mais elle est en train de changer de position, elle a une vitesse instantanée. Les nombres qui mesurent sa position et sa vitesse sont les valeurs de ses variables d’état. Les variables d’état sont toutes les grandeurs physiques qui déterminent l’état instantané du système et qui ne sont pas constantes a priori. On les appelle aussi les variables dynamiques. Si on prend une photo au flash on ne voit pas que la flèche est en mouvement, mais on peut le détecter par d’autres moyens, par l’effet Doppler par exemple, sans avoir à mesurer un changement de position. L’état dynamique d’un système est un état instantané, mais c’est un état de mouvement. Il est déterminé par les valeurs de toutes les variables d’état à cet instant.
Il y a une autre façon de considérer les états dynamiques, le point de vue de Heisenberg en mécanique quantique, pour laquelle ce ne sont pas des états instantanés. Mais il s’agit seulement d’un changement de formulation. Dirac a montré que le point de vue de Heisenberg est équivalent à celui de Shrödinger, qui est lui-même en accord avec les principes classiques, newtoniens, de la théorie générale de la dynamique. Il y a beaucoup de désaccords entre les théories classiques, d’inspiration newtonienne, et la mécanique quantique, mais il y a un accord partiel sur le déterminisme.
Les dynamiques à temps discret
Au point de vue mathématique, les principes de la théorie des systèmes dynamiques sont un peu difficiles dès que l’on tient compte de la continuité du temps : entre deux instants, il y a toujours des instants intermédiaires, on en conclut qu’il y a une infinité d’instants dans une durée finie. Décrire mathématiquement le mouvement, c’est déterminer l’état du système à tous les instants. Comme le temps semble continu il faut donc une infinité de déterminations. C’est à la portée des méthodes mathématiques mais c’est un peu difficile.
Si on simplifie la représentation mathématique du temps, les principes de la théorie des systèmes dynamiques deviennent très faciles à formuler : un système dynamique est défini par un ensemble E et une fonction f de E dans E. E est l’ensemble, ou l’espace, des états dynamiques. On l’appelle aussi parfois l’espace des phases, mais c’est moins explicite. Le mouvement est déterminé par une loi :
si le système est dans l’état x à l’instant t alors il sera dans l’état f(x) à l’instant t+1.
Définir la fonction f c’est définir pour chaque état x du système quel sera son état f(x) à l’instant suivant. La loi du mouvement prend ici une forme relativement simple parce que le temps est discret, c’est-à-dire qu’il est représenté par une suite d’instants : t, t+1, t+2, t+3, ...
Le mouvement lui-même, la trajectoire, est une suite d’états : x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...
Pour remonter dans le passé, il suffit d’inverser la fonction f. Quand on apprend en mathématiques à inverser des fonctions, on apprend à fabriquer une sorte de machine à remonter le temps.
Lorsque le temps est continu, la loi du mouvement est en général une équation différentielle et le mouvement est représenté par une ligne continue, une succession continue d’états. Malgré ces différences, les deux théories sont très semblables. On peut toujours étudier une dynamique continue en étudiant une dynamique discrète qui lui ressemble.
Exemples
- temps discret
- La fonction logistique (temps discret) :
- <math>x_{t+1} = ax_t (1 - x_t)\,\!</math>, où t dénote le temps discret et x est l'unique variable dynamique qui change au cours du temps.
- temps continu
- <math>\frac{dx}{dt} = ax (1-x)</math>, où x est la variable dynamique qui évolue avec le temps t.
- Double pendule
- Tous les mouvements de tous les systèmes physiques, ou presque.
Systèmes linéaires et non linéaires
Nous distinguons les systèmes dynamiques linéaires des systèmes dynamiques non-linéaires. Dans les premiers, le membre de droite de l'équation est une fonction dépendant linéairement de x, tel que:
- <math>x_{t+1} = 3x_t\,\!</math>
La somme de deux solutions d'un système linéaire est également solution (« principe de superposition »). Les solutions d'une équation linéaire forment un espace vectoriel, ce qui permet l'utilisation de l'algèbre linéaire et simplifie considérablement l'analyse. Pour les systèmes à temps continu, la transformée de Laplace permet de transformer les équations différentielles en des équations algébriques.
Les deux premiers exemples donnés plus haut sont des systèmes non linéaires. Leur analyse est en général très difficile. Par ailleurs, les systèmes non linéaires ont souvent des comportements dits chaotiques, ce qui les rend apparemment imprévisibles.
Les systèmes dynamiques et la théorie du chaos
Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos.
Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Dans ce cadre, on ne met pas l'accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique (ce qui, de toute façon, est souvent sans espoir), mais plutôt sur la réponse à des questions comme « Le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ? » ou « Le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ? ».
Un objectif important est la description des points fixes, ou états stationnaires, du système ; ce sont les valeurs de la variable pour lesquelles elle n'évolue plus avec le temps. Certains de ces points fixes sont attractifs, ce qui veut dire que si le système parvient à leur voisinage, il va converger vers le point fixe.
De même, on s'intéresse aux points périodiques, les états du système qui se répètent au bout d'un certain nombre de pas (leur période). Les points périodiques peuvent également être attractifs. Le theorème de Sarkovskii donne une contrainte sur l'ensemble des périodes possibles des points d'un système dynamique à variable réelle et fonction d'évolution continue ; notamment, s'il existe un point de période 3, il existe des points de période quelconque (« période 3 = chaos »).
Notons que le comportement chaotique de systèmes complexes n'est pas une surprise – on sait depuis longtemps que la météorologie comprend des comportements complexes et même chaotiques. La véritable surprise est plutôt la découverte de chaos dans des systèmes presques triviaux ; ainsi, la fonction logistique est un simple polynôme du second degré, pourtant le comportement de ses solutions est chaotique.
Le déterminisme est-il vrai ?
L'hypothèse que l'avenir est déterminé par le présent est très audacieuse. Son succès n’est pas a priori évident. Pourtant toutes les grandes théories fondamentales de la physique l’ont adopté, à la suite de Newton, sauf la mécanique quantique, qui l’accepte et la rejette en même temps, l’’équation de Schrödinger étant complètement déterministe mais pas le principe de Born.
