Calcul stochastique

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Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, la chimie, les mathématiques financières, et même la musique.

Sommaire 1 Processus aléatoires 2 Filtrations 2.1 Espérance conditionnelle selon une filtration 3 Processus d'Itō 4 Processus usuels 5 Martingales exponentielles 6 Processus d’Orstein-Uhlenbeck 7 Intégrale de Wiener et intégrale stochastique 7.1 Lemme d’Itô 8 Equations différentielles stochastiques 9 Problèmes de contrôle optimal 10 Méthodes de simulation 10.1 Méthode de Monte Carlo 10.2 Simulation par arbres recombinants

Processus aléatoires

Un processus aléatoire <math>X</math> est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de R ou N, souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastiques). C'est donc une fonction de deux variables: le temps et l’état du monde <math>\omega</math>. L’ensemble des états du monde est traditionnellement noté <math>\Omega</math> L’application qui à <math>t</math> associe <math>X(\omega,t)</math> est appelée trajectoire du processus. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par R. Il peut être défini comme l’unique processus <math>W_t</math> à accroissement gaussien tel que la corrélation entre <math>W_t</math> et <math>W_s</math> soit <math>min(t,s)</math>. On peut également le voir comme la limite de la marche de l'ivrogne lorsque le pas de temps tend vers zéro.

Filtrations

Une Filtration <math>F_t, t\in N</math>est une famille de sous-tribus emboitées de <math>\Omega</math>, qui peut s’interprêter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. à compléter

Espérance conditionnelle selon une filtration

Processus d'Itō

Le processus d'Itō, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale stochastique d'Itō.

Avant le calcul, notons que :

• Les majuscules telles que X denotent les variables aléatoires.
• Les majuscules avec en indice un t (par exemple B_t) denotent un processus stochastique qui n'est pas un ensemble de variables aléatoire indexé par t.
• Un petit d à gauche d'un processus (par exemple dB_t) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.

L'intégrale stochastique d'un processus X_t par rapport à un processus B_t est décrite par l'intégrale :

<math>\int_{a}^{b} X_t\, dB_t</math>

et est définie comme la limite en probabilité des sommes correspondantes de la forme :

<math>\sum X_{t_i} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}).</math>

Un point essentiel lié a cette intégrale est le lemme d'Itô.

La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.

Processus usuels

Martingales exponentielles

Processus d’Orstein-Uhlenbeck

Intégrale de Wiener et intégrale stochastique

à compléter

Soit <math>Z</math> le mouvement brownien standard défini sur l’espace probabilisé <math>(\Omega, A, F, P)</math> et σ un processus adapté à F. On suppose par ailleurs que σ vérifie :
<math>E\left(\int_0^T \sigma_s^2 ds\right) < + \infty</math>.
Alors, l’intégrale stochastique de σ par rapport à W est la variable aléatoire :
<math>\left(\int_0^T \sigma_s dZ_s \right) = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^N \sigma_{n-1} \left(Z_n - Z_{n-1}\right)</math>.

Lemme d’Itô

Equations différentielles stochastiques

Une équation différentielle stochastique (EDS) est la donnée d’une équation du type <math>dX = \mu(X,t) dt + \sigma(X,t) dW_t</math>, où <math>X</math> est un processus aléatoire inconnu, que l’on appelle communément équation de diffusion. Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus vérifiant la diffusion entiere.

Problèmes de contrôle optimal

Méthodes de simulation

Méthode de Monte Carlo

Les méthodes de Monte Carlo reposent sur la loi des grands nombres : en répétant un grand nombre de fois une expérience, de façon (théoriquement) indépendante, on obtient une approximation de plus en plus fiable de la vraie valeur du phénomène observé.

De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques.

Simulation par arbres recombinants