Statistique de Maxwell-Boltzmann
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La statistique de Maxwell-Boltzmann est une distribution de probabilités utilisée en physique statistique pour déterminer la distribution de particules selon un ensemble de niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz.
Sommaire |
Énoncé
Formulation discrète
On se donne un système de N particules n'interagissant pas entre elles et pouvant prendre les différents états d'énergie discrets Ei. Le nombre Ni de particules dans un état d'énergie donné Ei est :
- <math>N_i=N\frac{g_i\exp\left(-E_i/kT\right)}{\sum_{j}^{}{g_j\exp\left(-E_j/kT\right)}}</math>.
où
- gi la dégénerescence de l'état d'énergie Ei, c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie <math>E_i</math> ;
- k, la constante de Boltzmann ;
- T, la température.
Formulation continue
On considère un système de N particules sans interaction entre elles et pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre dNi de particules possédant une énergie entre E et E+dE est :
- <math>\mathrm{d}N_i = N \frac {g(E)\exp\left(-E/kT\right)} {\int g(\varepsilon)\exp\left(-\varepsilon/kT\right) \mathrm{d}\varepsilon} \, \mathrm{d}E</math>,
où g(E) est le nombre d'états d'énergie comprise entre E et E+dE.
Limitations
La statistique de Maxwell-Boltzmann s'applique en l'absence d'interaction entre particules : elle est donc valable pour un gaz parfait mais ne s'applique pas, par exemple, à un liquide.
De plus, elle s'applique aux « hautes températures » lorsque les effets quantiques sont négligeables. À basse température sont utilisées la statistique de Bose-Einstein pour les bosons et la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions.
Applications
Biophysique
En neurosciences, on décrit souvent les mécanismes d'ouverture et de fermeture des protéines-canal membranaires par une fonction de Boltzmann simplifiée quand ceux-ci sont dépendent du potentiel de membrane. La formule utilisée est alors: <math>\frac{G(V)}{G_{max}}=\frac{1}{1+e^{\frac{V-V_{1/2}}{k}}}</math>. où
- V est le potentiel de membrane
- G(V) est la conductance ionique associée aux canaux, dépendente du potentiel de membrane
- Gmax est la conductance maximale
- V1/2 est le potentiel de mebrane pour lequel la moitié des canaux est ouverte
- k est la dépendance de l'ouverture des canaux par rapport au changement de potentiel, décrit dans la littérature comme étant la "constante de pente".
La fonction de Boltzmann est ici utilisée pour décrire les résultats expérimentaux issus de la mesure en potentiel imposé des courants de membrane, et ainsi determiner les propriétés des différentes catégories de courant membrannaires. Les paramètres V1/2 et k sont determinant pour la modélisation informatique des propriétés electriques d'une cellule nerveuse.
Voir également
- généralisation en physique quantique
- physique statistique
- Biophysique des canaux ioniques
- électrophysiologie
