Sous-groupe
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Dans tout cet article, <math>(G,*)\,</math> désigne un groupe d'élément neutre <math> e \, </math>.
Sommaire |
Définition d'un sous-groupe
Soit H un sous-ensemble de G.
On dit que <math>(H,\star)\,</math> est un sous-groupe de <math>(G,*)\,</math> si <math>(H,\star)</math> est un groupe dont la loi <math>\star\,</math> s'obtient par restriction de <math>*\,</math> à <math>H \times H \,</math>.
Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire <math>*</math>.
Caractérisation
Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses, c'est-à-dire :
H induit un sous-groupe de G si et seulement si :
- <math> (1)\; e \in H </math>
- <math> (2)\; \forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H </math>
Propriété
L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, les notations de ces notions sont les même aussi bien dans H que dans G.
Sous-groupe engendré par une partie
article détaillé Génération d'un groupe
Soit <math>S \subset G </math> une partie de <math>G</math>.
Il existe un plus petit sous-groupe de <math>G</math> contenant <math>S</math>, appelé sous-groupe engendré par S, et noté <math> \left \langle S \right \rangle </math>.
Théorème de Lagrange
Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :
[G : H] |H| = |G|
où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.
Liens avec les homomorphismes
La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante:
Soit <math>f : G \rightarrow G' \,</math> un homomorphisme de groupe.
<math>H \mbox{ sous-groupe de } G \Rightarrow f(H)\,\mbox{ sous-groupe de } G' \, </math>
<math>H' \mbox{ sous-groupe de } G' \Rightarrow f^{-1}(H') \mbox{ sous-groupe de } G \, </math>
On trouvera plus de détails à l'article homomorphisme de groupe.
Liens avec les treillis
Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis (ensemble ordonné) complété pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même.
Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G, la borne inférieure de deux sous-groupes est leur intersection et la borne supérieure le sous-groupe produit.
