Singularité

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Une singularité est un point de densité et de courbure d'espace-temps infinis que l'on ne peut pas traiter mathématiquement. À cet endroit, l'équation, la surface représentée par la fonction, etc., diverge ou dégénère, comme si elle formait un pli indéfroissable ou commençait à faire des bulles au lieu de rester plane et stable.

Les singularités sont souvent appelées des « points singuliers ». En première approximation, imaginez-les comme des têtes d'épingle plus petites qu'un atome, plus petites que tout ce qui existe mais qu'on ne peut pas appréhender car notre science est incapable de comprendre son état plein d'incertitudes... En pratique elle peuvent avoir une taille macroscopique à l'instar de l'horizon des événements des trous noirs.

Les singularités sont extrêmement importantes car on peut en tirer quelque chose en analyse complexe, cette branche des mathématiques qui étudie les fonctions définies sur un domaine du plan complexe (fonctions holomorphes). Analysées de la sorte, les singularités peuvent être définies par des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions déterminées en chacun des points de leur domaine ou région. En corollaire on peut donc étudier leurs comportements réels car la dérivée d'une fonction holomorphe est une dérivée réelle dans son sens mathématique. On peut donc évaluer sa vitesse, etc. À l'inverse, les singularités complexes sont des points dans le domaine de la fonction mais dont la fonction n'est plus analytique. Ici c'est la grande inconnue.

Les singularités sont classées en deux grandes catégories : les singularités isolées et non isolées. Les singularités isolées comprennent plusieurs espèces dont le point singulier, les pôles de différents ordres, les singularités essentielles ou pôles d'ordre infini, les singularités logarithmiques, les singularités remplaçables, ces dernières pouvant être associées à des nombres complexes et remplacées par une fonction imaginaire où intervient le théorème de Riemann, les singularités de Whitney, etc. Enfin, les singularités non isolées peuvent représenter les limites naturelles d'un domaine (univers sans bord) ou une impasse (branche coupée).

Applications

Selon les théories découvertes par Stephen Hawking au début des années 1960, la théorie de la relativité générale d'Einstein implique que l'espace et le temps ont eu un commencement, le Big Bang, et une fin, les trous noirs, deux singularités dans leur expression mathématique. En tirant profit de l'analyse complexe et du temps imaginaire, ces événements peuvent être étudiés par la science.

Citons également les trous de ver de John Wheeler (les ponts Einstein-Rosen).