Série (mathématiques)
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Définitions
Une série de terme général xn est une suite infinie (Sn) où pour tout entier naturel n,
- <math>S_n=\sum_{k=0}^n x_k</math>
Ainsi, une série de terme général, xn est une suite de la forme :
<math>\left(x_0, \quad x_0+x_1, \quad x_0+x_1+x_2, \quad \cdots \quad, \quad x_0+x_1+\cdots+x_n, \quad \cdots \quad \right)</math>
Les séries numériques sont les séries dont les termes xn sont des nombres réels ou des nombres complexes. Dans la suite de l'article, le mot série désignera une série numérique.
Pour tout entier naturel n, la somme Sn est appelée somme partielle au rang n de la série.
On note la série de terme général xn : <math>\sum_{n\ge 0}x_n</math> ou <math>\left(\sum_{k= 0}^n x_k\right)_{n\in\mathbb N}</math>.
La série <math>\sum_{n\ge 0}x_n</math> est dite convergente si par définition, la suite (Sn) est convergente. Sa limite S est appelée somme de la série et est notée <math>\sum_{k=0}^{\infty} x_n</math> ou encore <math>x_0+x_1+\cdots+x_n+\cdots</math>.
Dans le cas contraire la série est dite divergente.
Si la série <math>\sum_{n\ge 0}x_n</math> est convergente, alors pour tout entier naturel n, la somme <math>R_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}x_k</math> existe, et <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}R_n=0</math>. Rn s'appelle le reste d'ordre n de la série <math>\sum_{n\ge 0}x_n</math>.
Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux à la fois convergentes ou divergentes.
Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon.
On notera que si toute série est une suite, toute suite est également une série (la série des différence des termes consécutifs). Selon le cas, on aura intérêt à considérer une suite comme une série, ou inversement, selon la facilité de l'analyse des termes.
Exemples de séries
La série de terme général <math>\left (\frac{1}{2} \right)^{n}</math> est convergente et sa somme vaut :
- <math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = 2</math>
Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de se rendre compte que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la série est majorée.
Cette série est une série géométrique et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :
- <math>\sum_{n=0}^n (1/2)^n=\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}=2-(1/2)^n</math>
La suite géométrique ((1/2)n) de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc
- <math>\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}=2.</math>
Différents types de séries
- Les séries géométriques sont celles dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant.
Exemples: <math>\sum_{n \ge 0}(1/3)^n</math>, <math>\sum_{n \ge 0} 1/(1+i)^n</math>
- La série harmonique est la série : <math>\sum_{n \ge 1}1/n</math>. Cette série est divergente.
- Les séries alternées sont les séries réelles dont les termes sont de signe alterné.
Exemple: <math>\sum_{n \ge 0}(-1/3)^n</math>
- La série factorielle est la série : <math>\sum_{n \ge 0}1/(n!)</math>. Cette série a pour somme <math>e</math>.
- Les séries trigonométriques sont les séries de fonctions d'une variable complexe de terme général <math>u_n(z) = a_ncos(nz) + b_nsin(nz)\,</math> où <math>a_n</math> et <math>b_n</math> sont des nombres complexes.
Exemple: les séries de Fourier.
Convergence des séries
Si la série <math>\sum a_n</math> est convergente, alors la suite <math>(a_n)\,</math> converge vers 0 quand <math>n \to \infty\,</math> ; la réciproque est fausse (on peut prendre la série harmonique comme contre-exemple). Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement divergente.
Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature.
Critères de convergence des séries à termes positifs
Dans ce paragraphe, nous considérons des séries à termes réels.
Si tous les termes <math>a_n\,</math> sont positifs, la série <math>\sum a_n</math> est dite à termes positifs et pour une telle série, la suite des sommes partielles <math>(S_n)\,</math> est croissante. Elle est alors soit convergente, soit divergente de limite infinie.
- Règle de comparaison : Si tous les termes <math>\sum a_n</math> sont positifs et que <math>\sum b_n</math> est une série convergente telle que pour tout n, <math>a_n\,\le b_n</math> alors <math>\sum a_n</math> est aussi convergente. Inversement, si tous les termes <math>b_n\,</math> sont positifs, pour tout n, <math>a_n \ge b_n\,</math> et la série <math>\sum b_n</math> est divergente, alors <math>\sum a_n</math> est aussi divergente.
- Règle des équivalents : Si tous les termes <math>a_n\,</math> sont positifs et si <math>a_n\sim b_n\,</math> alors les séries <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> sont de même nature.
- Critère de d'Alembert pour les séries numériques Soit <math>\sum u_n</math> une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport <math>\frac {u_{n+1}}{u_n}</math> tend vers une limite <math>L</math> . Dans ces conditions la série : converge si <math>L < 1\,</math> ; diverge si <math>L > 1\,</math> ; si <math>L = 1\,</math> on ne peut pas conclure.
- Critère de la racine nième de Cauchy : Si les termes <math>a_n\,</math> sont strictement positifs et il existe une constante <math>C < 1\,</math> telle que <math>(a_n)^{\frac{1}{n}} \le C</math> , alors <math>\sum a_n</math> est convergente.
- Critère de Cauchy intégral : Si <math>f\,</math> est une fonction positive décroissante définie sur l'intervalle <math>[1, \infty[</math> telle que pour tout n, <math>f(n) = a_n\,</math> , alors la série <math>\sum a_n</math> et l'intégrale <math>\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx</math> sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.
- Critère spécial de Leibniz : Une série de la forme <math>\sum (-1)^n a_n</math> (telle que <math>a_n \ge 0\,</math>) est appelée série alternée. Une telle série est convergente si la suite <math>a_n\,</math> est décroissante et converge vers 0. La réciproque est fausse.
Exemples
- Les séries de la forme :
<math>\sum_{n\ge 1} 1/n^{\alpha}</math> où <math>\alpha\,</math> est un réel quelconque,
sont convergentes si et seulement si <math>\alpha > 1\,</math>. Ceci peut être démontré avec le critère intégral de Cauchy 5) ci-dessus. Ces séries sont les séries de Riemann. La fonction Zeta de Riemann est la fonction qui à <math>\alpha\,</math> associe la somme de cette série.
- Les séries de la forme :
<math>\sum_{n\ge 2} \frac{1}{n^\alpha \ln^\beta n}</math>, avec <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>,
sont convergentes si et seulement si (<math>\alpha > 1\,</math>) ou (<math>a=1\,</math> et <math>\beta > 1 \,</math>). Ces séries sont les séries de Bertrand.
- Les séries géométriques
<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>
sont convergentes si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : |z| < 1.
- Les séries télescopiques
<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
sont convergentes si et seulement si la suite (bn) converge vers une limite L quand n tend vers l'infini. La valeur de la somme de la série est alors b1 - L.
Convergence absolue
La série
- <math>\sum_{n\ge 0} a_n</math>
est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues (série à termes réels) ou des modules (séries à termes complexes)
- <math>\sum_{n\ge 0} \left|a_n\right|</math>
est convergente. Dans ce cas, la série initiale, ainsi que les séries obtenues par ordonnancement des termes à partir de celle-ci, sont convergentes, et convergent vers la même somme.
Exemple : <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n / n</math> est une série convergente (car <math>((-1)^n / n)_{n}</math> est alternée, décroissante en valeur absolue et tend vers 0), mais elle n'est pas absolument convergente car la série des valeurs absolues est la série harmonique, divergente.
Si une série réelle est convergente, mais pas absolument, alors on peut toujours trouver un ordonnancement des termes tel que la série obtenue soit divergente. De plus, si les an sont réels et S est un réel quelconque, alors on peut trouver un ordonnancement des termes tel que la série obtenue soit convergente de limite S (Riemann).
Séries entières
La plupart des fonctions usuelles en mathématiques peuvent être représentées localement par une série de Taylor. Ce sont des séries dont le terme général s'écrit avec une puissance d'une variable ; elles sont appelées séries entières.
Exemples :
<math>\sum_{n=0}^\infty z^n = 1/(1-z)</math>
Cette série est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : |z| < 1.
<math>\sum_{n \ge 0}z^n/(n!) = e^z</math>
Cette série est convergente pour tout nombre réel ou complexe z.
Historiquement, les mathématiciens comme Leonhard Euler travaillaient librement avec les séries, même si celles-ci n'étaient pas convergentes. Lorsque les bases du calcul ont été solidement posées au dix-neuvième siècle, des démonstrations rigoureuses de la convergence des séries ont été exigées. Cependant, les calculs formels avec des séries (pas forcément convergentes) sont à l'origine des séries formelles dans les anneaux étudiées en algèbre abstraite. Les séries formelles sont aussi utilisées en algèbre combinatoire pour décrire et étudier certaines suites, et aussi pour les fonctions génératrices.
Généralisations
La notion de série peut être définie dans tout groupe abélien topologique; le plus souvent on considère les séries à termes dans un espace de Banach.
