Ruban de Möbius
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Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner comme le montre le schéma ci-dessous.
Il suffit d'utiliser une longue bande de papier, de lui faire subir une torsion d'un demi-tour puis de coller les deux extrémités. On découvre alors une surface ayant deux propriétés inattendues : cette surface possède une seule face et un seul bord. En mathématiques on parle de surface non orientable.
Si l'on coupe le ruban en deux dans le sens de la longueur, on obtient un anneau unique, vrillé, mais qui possède deux faces distinctes et deux bords distincts. Si on le recoupe dans le sens de la longueur, on obtient... deux anneaux distincts, vrillés et entortillées l'un sur l'autre.
Cet objet a été conçu simultanément en 1858 par le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius et par son compatriote Johann Benedict Listing, bien que ne travaillant pas ensemble. Le nom du premier fut retenu grâce à un mémoire présenté à l'Académie des sciences à Paris. On trouve également les dénominations de bande, anneau ou ceinture de Möbius ou de Moebius, notamment dans les traductions.
Des variantes du ruban classique peuvent s'obtenir en faisant subir à la bande de papier un nombre impair de demi-tours de sens direct ou rétrograde. Les objets obtenus sont homéomorphes au ruban classique, mais on ne peut passer continûment (c'est-à-dire par homotopie) d'un modèle à l'autre dans l'espace de dimension 3.
Le ruban de Möbius à un demi-tour peut également être vu comme une partie de la surface de Möbius. Par suite, il peut être engendré par un segment pivotant dont le centre décrit un cercle fixe.
Mathématiquement, on peut définir le ruban comme l'ensemble quotient de l'ensemble <math>\R \times [-1,1] \,\!</math> par la relation d'équivalence définie par : <math>(x,y) \sim (x',y') \,\!</math> si et seulement si <math>\exists k \in \Z \, : \, (x',y') = (x+k,(-1)^k y) \,\!</math>. Par comparaison, un ruban « normal » (tronc de cylindre) serait défini par la relation <math>\exists k \in \Z \, : \, (x',y') = (x+k, y) \,\!</math>.
Une version schématisée du ruban de Möbius est utilisée comme logo des matières recyclables depuis la première journée de la Terre en 1970. La boucle Möbius indique qu'un produit peut être recyclé et aussi qu'il peut être fait de matériaux recyclés. Il s'agit en fait d'un ruban à trois demi-tours.
Voir aussi
Liens externes
Adaptations artistiques
Thru the Moebius Strip, film entièrement numérique de 80 minutes est actuellement en phase de production par Frank Foster à Global Digital Productions (Hong Kong). Sortie prévue en 2005.
La particularité de ce phénomène a aussi été utilisée dans un épisode d'Ulysse 31.
Möbius (soit Moebius sans les trémas) est également le nom du double épisode final de la saison 8 de Stargate SG-1.
