Rotation
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La rotation qualifie un mouvement circulaire.
Usuellement, le terme « rotation » est utilisé pour les mouvements circulaires, par exemple dans un moteur, ou pour qualifier le mouvement d'un astre autour d'un autre ou sur lui-même. On les utilise également pour déterminer l'orientation d'un objet dans l'espace.
Sommaire |
En géométrie
En mathématiques, la rotation est une transformation au même titre que l'homothétie ou la translation.
Rotation vectorielle
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal <math>SO(E)</math>. Géométriquement, une rotation vectorielle est une rotation dont le centre est situé à l'origine O des coordonnées : elle laisse donc le point O invariant dans cette transformation.
Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale.
Rotation vectorielle plane
Dans le plan, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle <math>\varphi\,</math>. Sa matrice dans une base orthonormée directe est :
Autrement dit, un point P de coordonnées <math>\left[x ; y\right]</math> a pour transformé le point P' de coordonnées <math>\left[x' ; y'\right]</math> que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :
<math>y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi\,</math>
Remarque : ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :
La composée de deux rotations vectoriellres (donc de même centre O) est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe <math>(\mathbb R/2\pi\mathbb Z,+)</math>.
Rotation vectorielle dans l'espace de dimension 3
Dans l'espace de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par son axe <math>\vec N</math> orienté dont les vecteurs sont invariants et par son angle <math>\varphi\,</math>, celui de la rotation vectorielle plane qui concerne le plan orthogonal à l'axe.
Nous supposerons que le vecteur <math>\vec N</math>, de coordonnées <math>\left[n_x ; n_y ; n_z\right]</math> est normé : <math>\|\vec N\| = 1</math>.
Soit <math>\vec U </math> un vecteur quelconque d'origine O et d'extrémité P. Son transformé dans la rotation <math>\left[\varphi\,\,; \vec N\right]</math> est le vecteur <math>\vec V </math> d'origine O et d'extrémité Q.
Cas particulier simple
- Commençons par l'étude du cas particulier où la base orthonormée directe <math>(\vec i, \vec j, \vec k)\,</math> est telle que <math>\vec N = \vec k</math>
Soient <math>\mathbf\Pi_0 \,</math> et <math>\mathbf\Pi \,</math> les 2 plans orthogonaux à <math>\vec N</math> et passant respectivement par par O et par P (et donc par Q). Compte tenu du cas particulier, le plan <math>\mathbf\Pi \,</math> est aussi le plan formé par les vecteurs <math>\vec i</math> et <math>\vec j</math>.
Soient R et S les projections des 2 points P et de Q du plan <math>\mathbf\Pi \,</math> sur le <math>\mathbf\Pi_0 \,</math> et soit <math>\mathbf\Omega</math> le point d'intersection de l'axe <math>\vec N</math> avec le plan <math>\mathbf\Pi \,</math>. Il est évident que l'on a l'égalité angulaire :
Par conséquent, la rotation <math>\left[\varphi\,\,; \vec N\right]</math>, qui transforme P en Q, transforme R en S.
Si nous désignons par <math>\left[x ; y ; z\right]</math> et par <math>\left[x' ; y' ; z'\right]</math> les coordonnées respectives de P et de Q, les coordonnées de R et de S valent respectivement <math>\left[x ; y ; 0\right]</math> et <math>\left[x' ; y' ; 0\right]</math> et l'on peut appliquer à R et à S les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes ; on peut donc écrire :
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<math>\left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]</math> |
Cas général
- Si le vecteur <math>\vec N</math> a une orientation quelconque par rapport à la base orthonormée directe <math>(\vec i, \vec j, \vec k)\,</math> qui sert à exprimer les coordonnées, le raisonnement est plus délicat.
Comme ci-dessus, définissons les 2 plans <math>\mathbf\Pi_0 \,</math> et <math>\mathbf\Pi \,</math>, orthogonaux à <math>\vec N</math> et passant respectivement par par O et par P (et donc par Q), et nommons R et S les projections des 2 points P et de Q du plan <math>\mathbf\Pi \,</math> sur le plan <math>\mathbf\Pi_0 \,</math>, ainsi que <math>\mathbf\Omega</math> le point d'intersection de l'axe <math>\vec N</math> avec le plan <math>\mathbf\Pi \,</math>. On a toujours l'égalité angulaire :
et, comme précédemment, la rotation <math>\left[\varphi\,\,; \vec N\right]</math>, qui transforme P en Q, transforme R en S.
Il nous faut à présent choisir des axes de coordonnées provisoires qui facilitent le raisonnement. Pour cela, si nous normons le vecteur <math>\vec U</math> en désignant par <math>\vec u</math> le vecteur : <math>\vec u = \frac{\vec U}{\|\vec U\|}</math>, les 3 vecteurs unitaires qui vont jouer le rôle équivalent à celui des vecteurs de la base orthonormée directe <math>(\vec i, \vec j, \vec k)\,</math>, utilisée dans le cas particulier précédent, seront cette fois les 3 vecteurs <math>\left(\ (\vec N \wedge \vec u)\wedge \vec N, \vec N\wedge\vec u, \vec k\right)\,</math> qui sont bien tous normés et 2 à 2 orthogonaux (remarquer que le premier de ces 3 vecteurs normés est le résultat d'un double produit vectoriel).
La composante de <math>\vec U</math> sur le troisième des vecteurs de la base étant par définition : <math>\vec U\cdot\vec N</math>, la projection de <math>\vec U</math> sur <math>\vec N</math> vaut donc :
- <math>\overrightarrow{O\Omega} = (\vec U\cdot\vec N)\ \vec N</math> d'où l'on tire :
- <math>\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{\Omega P} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{O \Omega} = \vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N</math>
Dans le plan <math>\mathbf\Pi_0 \,</math>, le vecteur <math>\overrightarrow{OS}</math> est le transformé du vecteur <math>\overrightarrow{OR}</math> dans la rotation vectorielle plane d'angle <math>\varphi</math> et, dans ce plan, le vecteur <math>\overrightarrow{OR}</math> n'a de composante que sur le vecteur de base <math>(\vec N \wedge \vec u)\wedge \vec N</math>.
En appliquant dans ce plan les formules établies pour les rotations vectorielles planes, on peut donc écrire :
<math>\overrightarrow{OS} = \cos\varphi\ \overrightarrow{OR} + \sin\varphi (\vec N \wedge \overrightarrow{OR})</math>, où l'on va remplacer <math>\overrightarrow{OR}</math> par l'expression trouvée précédemment. Il vient :
<math>\overrightarrow{OS} = \cos\varphi\left[\vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N\right] + \sin\varphi\ \Bigg[\vec N\wedge\left[\vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N\right]\Bigg]</math> qui se simplifie ainsi :
<math>\overrightarrow{OS} = \cos\varphi\left[\vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N\right] + \sin\varphi\,\,\left[\vec N\wedge\vec U\right] </math> car <math>\vec N\wedge\vec N</math> est un vecteur nul, d'où :
<math>\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{O\Omega} = \cos\varphi\left[\vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N\right] + \sin\varphi\,\,\left[\vec N\wedge\vec U\right] + \overrightarrow{O\Omega} </math> ou encore :
<math>\vec V = \overrightarrow{OQ} = \cos\varphi\left[\vec U -(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N\right] + \sin\varphi\,\,\left[\vec N\wedge\vec U\right] + (\vec U\cdot\vec N)\ \vec N</math> d'où finalement la formule générale :
Formules générales
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<math>\vec V = \cos\varphi\ \vec U + (1-\cos\varphi)(\vec U\cdot\vec N)\ \vec N + \sin\varphi\,\,\left[\vec N\wedge\vec U\right]</math> |
La formule encadrée ci-dessus donne l'expression vectorielle du transformé <math>\vec V </math> d'un vecteur <math>\vec U </math> quelconque, dans la rotation <math>\left[\varphi\,\,; \vec N\right]</math> d'angle <math>\varphi\,</math> et d'axe <math>\vec N</math> normé (<math>n^2_x+n^2_y+n^2_z=1</math>).
On peut présenter le même résultat sous la forme matricielle équivalente suivante :
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<math>M = cos\,\varphi\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} + (1-\cos\varphi)\begin{bmatrix}n^2_x&n_x n_y&n_x n_z\\n_x n_y&n^2_y&n_y n_z\\n_x n_z&n_y n_z&n^2_z\end{bmatrix} +\ sin\,\varphi\begin{bmatrix}0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0\end{bmatrix}</math> |
Remarque : la matrice M est appelée matrice de rotation. Sa matrice transposée est égale à sa matrice inverse : on dit donc que c'est une matrice orthogonale. Et sa trace, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux (et donc de ses 3 valeurs propres) est égale à <math>1 + 2 \cos\varphi\,</math>.
Il existe une troisième façon de calculer le transformé <math>\vec V\,</math> du vecteur <math>\vec U\,</math> ; elle utilise le produit de quaternions sous la forme suivante :
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<math>(0,\ \vec V) = \left(0,\ \mathbf R_{\left[\varphi, \vec N\right]}(\vec U)\right) = (\cos \frac{\varphi}{2},\ \sin \frac{\varphi}{2}\ \vec N)\cdot (0,\ \vec U)\cdot (\cos \frac{\varphi}{2},\ -\sin \frac{\varphi}{2}\ \vec N)</math> |
Composition de deux rotations vectorielles
La composée de deux rotations vectorielles <math>\left[\varphi_1\,\,; \vec N_1\right]</math> et <math>\left[\varphi_2\,\,; \vec N_2\right]</math> (donc de même centre O) de l'espace de dimension 3 est une rotation vectorielle dont les caractéristiques <math>\left[\varphi_3\,\,; \vec N_3\right]</math> ne se déterminent commodément qu'en faisant appel à la notion de quaternions.
Rotation affine
Si E est un espace affine, une rotation affine est définie par la donnée d'un point (le centre de la rotation, qui reste invariant par celle-ci) et d'une rotation vectorielle associée.
Dans le plan affine, une rotation est donc donnée par un point et un angle, l'angle de la rotation vectorielle correspondante. La composée de deux rotations affines est une rotation si la somme des angles est non nulle. Mais si elle est nulle, cette composée est soit une rotation, soit une translation.
Dans l'espace affine de dimension 3, on définit la rotation par la données d'un axe (droite orientée de points invariants par la rotation) et d'un angle. À toute rotation affine correspond une rotation vectorielle associée. Cependant, une application affine associée à une rotation vectorielle est un vissage, composé d'une rotation affine et d'une translation parallèlement à son axe.
Rotations et angles
Dans la construction axiomatique de la géométrie, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle (voir l'article Angle).
