Lois du mouvement de Newton

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Les lois du mouvement de Newton sont les trois Principes de base concernant le mouvement des corps. Elles ont été édictées par Isaac Newton et sont à l'origine de la mécanique classique. Quelques 200 ans plus tard, Albert Einstein présenta sa théorie de la relativité et montrera que ces lois ne sont que des approximations.

Image:GonioX.jpg Cet article concernant la science fait partie de la série physique

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Sommaire 1 Énoncé des lois 1.1 Principe de relativité 1.2 Première loi de Newton ou principe d'inertie 1.3 Deuxième loi de Newton ou Principe Fondamental de la Dynamique 1.4 Troisième loi de Newton ou principe d'action réciproque 2 Histoire 3 Epistémologie 3.1 Les lois de Newton n'ont pas été inventées par Newton 3.2 Les lois de Newton ne disent RIEN 3.3 le déterminisme imprédictible 3.4 les lois de Newton sont fausses aux grandes vitesses 3.5 les lois de Newton et le temps absolu 3.6 Hommage appuyé

Énoncé des lois

Principe de relativité

Newton dans ses Principia a mis en évidence la notion de relativité du mouvement dans les définitions précédant le livre premier. Toutefois, en introduisant dans les scholies II et IV la notion d'espace absolu, il ne dégage pas encore la notion de référentiel galiléen telle qu'elle est définie aujourd'hui. D'autre part, Newton ne fait aucune référence au cas où un référentiel n'est pas en mouvement rectiligne uniforme par rapport à ce qu'il appelle l'espace absolu. Ses résultats sont donc implicitement valables dans des référentiels en mouvement rectiligne uniforme mais aucune infirmation de la validité de ses lois dans les référentiels accélérés n'est donnée dans les Principia. Il faudra attendre les travaux de Coriolis et de Foucault au XIX^e siècle pour que la notion de référentiel galiléen telle qu'elle est connue aujourd'hui se dégage et pour que les formules de changement de repère vers (ou depuis) un référentiel non galiléen soient établies.

Ce principe est dit principe de relativité galiléenne, car on en trouve la trace dans le célèbre Dialogue de Galilée lequel avait bien compris l'importance du mouvement rectiligne sans toutefois percevoir le rôle non moins important de l'uniformité de la vitesse.

Remarque : Le référentiel héliocentrique est (généralement considéré comme) galiléen et c'est dans ce référentiel que sont étudiés les mouvements des planètes et des sondes spatiales. Considérer le référentiel géocentrique comme galiléen, alors que le centre de la Terre est en accélération autour du Soleil, revient à négliger les forces de marée. Considérer le référentiel terrestre comme galiléen revient à négliger la composante centrifuge dans la « pesanteur », et la force de Coriolis si le point matériel est en mouvement. D'une façon pragmatique, savoir trouver à quel degré d'approximation un référentiel peut être (considéré comme) galiléen est une quête sans cesse repoussée.

Première loi de Newton ou principe d'inertie

L'énoncé original de la première loi du mouvement est le suivant :

Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. ¹

Autrement dit, s'il n'y a pas de force qui s'exerce sur un corps, ou si la somme des forces s'exerçant sur lui est égale à zéro, sa direction, son sens et sa vitesse ne changent pas ou, ce qui revient au même, son accélération est nulle. Cette première loi infirme les lois de la physique d'Aristote, d'après lesquelles on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer une force.

Bien que Newton ne l'ait pas précisé dans son ouvrage, cette loi n'est valable que dans un référentiel galiléen. La première loi de Newton peut donc être reformulée dans un langage plus moderne :

Dans un référentiel galiléen, tout corps persiste dans un mouvement rectiligne uniforme en l'absence de forces, c'est-à-dire reste au repos ou conserve une vitesse constante.

Comme l'a fait remarquer Ernst Mach dans son ouvrage La mécanique. Exposé historique et critique de son développement ², la première loi est en réalité une tautologie de la définition IV des Principia, laquelle introduit la notion de force :

La force imprimée (vis impressa) est l'action par laquelle l'état du corps est changé, soit que cet état soit le repos, ou le mouvement uniforme en ligne droite. ¹

Deuxième loi de Newton ou Principe Fondamental de la Dynamique

Si la masse d'un corps est constante,

L'accélération subie par un corps de masse m est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

<math> \vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{F_i}} </math>

ou

<math>\sum{\vec{F_i}} = m \vec{a}</math>

où F_i sont les forces exercées sur l'objet, m est sa masse, et a son accélération.

Une forme plus générale, valable également si la masse change au cours du temps est

La force est égale aux changements de quantité de mouvement par unité de temps.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

<math>\sum{\vec{F_i}} = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>

où F_i sont les forces exercées sur l'objet, <math>\vec{p} = m \vec{v}</math> est la quantité de mouvement, égale au produit de sa masse m et de sa vitesse <math>\vec{v}</math>.

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée. Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

Troisième loi de Newton ou principe d'action réciproque

Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, mais de sens opposé, exercée par le corps B.

A et B étant deux corps en interaction, la force <math>\vec{F}_{A\to{}B}</math> (exercée par A sur B) et la force <math>\vec{F}_{B\to{}A}</math> (exercée par B sur A) qui décrivent l'interaction sont directement opposées :

<math>\vec{F}_{A\to{}B} = -\vec{F}_{B\to{}A}</math>

Ces forces ont la même droite d'action, des sens opposés et la même norme. Ces deux forces sont toujours directement opposées, que A et B soient immobiles ou en mouvement.

Cette loi est parfois, improprement appelée loi d'action - réaction, une formulation au mieux imprécise, au pire entraînant de nombreuses confusions. En effet, ces 2 forces <math>\vec{F}_{A\to{}B}</math> (action) et <math> \vec{F}_{B\to{}A}</math> (réaction) s'exerçant sur 2 corps différents ne peuvent pas s'annuler mutuellement, sauf au cas où le système pris en considération contient les 2 masses. Il convient alors d'introduire, parallèlement à la notion de système, les notions de forces intérieures et de forces extérieures. Ceci est une cause fréquente d'erreur pour des étudiants.

Dans le cas où l'on prend en considération comme système d'étude un système qui contient plusieurs particules, les forces internes, définies par les particules du système les unes sur les autres, qui sont l'une la réaction de l'autre, s'annulent de telle sorte que la force totale exercée sur le système de particules est la somme des forces extérieures au système, c'est-à-dire, les forces exercées sur les particules du système par des corps situés hors du système étudié. Il en est de même du moment total des forces intérieures : il s'annule.

Attention : un système de forces nul peut très bien fournir du travail, ce qui peut surprendre si on n'y a pas réfléchi.

Notes:

1. D'après la traduction du latin par la Marquise du Châtelet.

2. Chapitre II Développement des principes de la dynamique, section VII Critique synoptique des énoncés de Newton, paragraphe 4. Traduction par Emile Bertrand

Histoire

Isaac Newton a énoncé ses lois dans le premier volume de son Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687 et, à l'aide des nouveaux outils mathématiques qu'il a développé, il a prouvé beaucoup de résultats au sujet du mouvement des particules idéalisées.

Certains détracteurs de Newton disent qu'il s'est inspiré des travaux de Galilée pour écrire son premier principe (en reprenant presque l'énoncé de Galilée : « Tout corps continuera dans son mouvement de ligne droite ad eternam s'il n'est soumis à aucune force », en rajoutant toutefois la notion d'uniformité du mouvement).

Les deux premiers volumes sont mathématiques. Dans le troisième volume, la philosophie naturelle (ancienne dénomination de la physique des phénomènes naturels) est expliquée : il a montré comment ses lois du mouvement combinées à sa loi universelle de la gravitation expliquent le mouvement des planètes et permettent de dériver les lois de Kepler.

Il faut attendre 1905 pour que la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein mettent à bas la notion de temps absolu, ruinant ainsi l'édifice des Principia et réduisant la validité de ses équations uniquement aux vitesses beaucoup plus petites que la vitesse de la lumière. En particulier, aucun corps matériel ne peut dépasser une vitesse-limite appelée c, dont on considère, jusqu'à aujourd'hui, qu'elle est égale à la célérité du photon, c° : = par définition : = 299'792'458 m/s par définition du mètre (comme unité dérivée, l'unité de temps étant définie par une horloge à atome de césium : cf. horloge atomique).

En 1915, en généralisant le principe de Relativité, Einstein ruine la loi de gravitation universelle de Newton, avec ses dix équations de la théorie de la gravitation, encore en 2005 non testées dans un laboratoire terrestre, mais vérifiées et non infirmées en astronomie, avec une précision croissante.

Epistémologie

ébauche

Les lois de Newton n'ont pas été inventées par Newton

style provocateur ! elles ont été mises en forme et édictées par Newton: depuis, on utilise toujours cette forme, souvent appelée en France, principe fondamental de la dynamique. [à développer : Galilée, Torricelli, Descartes, Huygens, Hooke, etc., sont les précurseurs sur qui s'appuie Newton ("jai été porté par des épaules de géants")] : en effet, il est clair que si l'on dit, pour un système isolé, la quantité de mouvement se conserve, alors pour 2 sous-systèmes on a <math>\Delta P_1 = - \Delta P_2</math>. Il suffit de diviser cette égalité par dt pour avoir :

F(1/2) = - F(2/1)

ET

d/dt <math>P_1</math> : = F(2/1).

Ici, le signe : = est bien là pour signifier qu'il s'agit d'une définition de la force. Newton en était bien conscient ET n'A JAMAIS REVENDIQUÉ ces lois. Il a revendiqué la loi centripète d'attraction universelle pour des masses ponctuelles ( cf loi universelle de la gravitation)]. Cette loi est une absurdité, du point de vue d'Aristote chez qui la magie et autres actions à distance n'existent pas dans le cadre de la physique. Rappelons que le magnétisme est interprété depuis le de Magnete de Gilbert par des "lignes spectrales", ou tourbillons. De même, la cause de la gravitation est interprétée par Descartes via une théorie (fausse) de tourbillons, si contradictoire que même Huygens n'y croît plus. Par contre, Newton déclarera dans une phrase restée célèbre ("hypotheses non fingo") : je ne chercherai pas la cause ultime de la gravitation. Elle "s'exprime" au travers de la loi centripète que j'énonce, mais je suis comme tout un chacun : d'où vient cette loi ? je ne feindrai aucune supposition. Il sortait ainsi hardiment hors du cadre imposé par la physique de l'époque, d'où une critique véhémente, l'action instantanée à distance étant récusée, comme insensée(Roemer venait de déterminer la célérité de la lumière). En 1915, Einstein réconciliera tout le monde : la gravitation se propage, à la vitesse-limite c. Pour autant, il ne dit pas pourquoi ses équations existent; cette question du pourquoi est désormais considérée comme une sorte de quête du graal, indéfiniment repoussée.

Les lois de Newton ne disent RIEN

Analyse critique de Laplace, puis Mach , puis Poincaré , puis de Kolmogorov :

Ces savants perspicaces l'ont bien compris, et c'est Poincaré qui l'exprime le mieux:

le Principe Fondamental de la Dynamique n'exprime que l'idée du déterminisme énoncée par Laplace dans son traité sur les probabilités : si on connaît la position initiale x° et la vitesse initiale v° , alors l'équation du Principe Fondamental de la Dynamique(PFD) dit que, la Force étant F(x,v,t), il suffit de résoudre cette équation différentielle, pour déterminer le futur et le passé de la particule, {x(t) et v(t)}. Ainsi l'orbite hamiltonienne dans le plan des phases [x(t), p(t)] est déterminée par le PFD. C'est tout ce qu'affirme ce Principe, puisque, par ailleurs, il faut trouver expérimentalement la loi F(x, v, t). Ce principe du déterminisme est mis à mal lorsque, dans une théorie, on exprime F : = F(x, v, a, t). C'est le cas de la self-réaction de l'électron-rayonnant en électrodynamique classique.

Pire encore: Poincaré, suivi par Birkhoff et enfin l'école de Kolmogorov, vont nettement réduire la portée de ce déterminisme:

le déterminisme imprédictible

En effet, par son étude des équations différentielles de la mécanique céleste, Poincaré montre que, dès l'étude d'un problème à 3 corps, des séries divergentes apparaissent, ainsi qu'une orbite dans l'espace des phases effroyablement nouée, pour des orbites dites homoclines. Birkhoff, puis l'école russe de Kolmogorov mettront tout ceci au grand jour, en inventant avec Ruelle et bien d'autres, le déterminisme imprédictible dès que l'espace des phases est de dimension 3 ( il s'agit ici d'une extension de la notion d'espace des phases. En mécanique, le caractère "symplectique" des équations associe toujours x et <math>p_x</math> , donc l'espace des phases "ordinaire" est de dimension paire : le chaos ne peut apparaître que si l'espace des phases est de dimension 4, ou alors il faut que la Force dépende du temps): que veut dire pratiquement cette notion de déterminisme imprédictible ? Pour faire simple, on veut signaler que la résolution de l'équation différentielle va présenter une Sensibilité aux Conditions Initiales (SCI), telle que le doublement du nombre de chiffres significatifs sur ( x°,v°) ne conduira guère qu'à un doublement du temps-critique où les résultats divergeront et seront donc sans utilité. Il y a là un mur infranchissable en l'état actuel de nos processeurs de calcul: l'exemple classique cité est celui de la prévision météorologique; malgré la multiplication du nombre de mailles du calcul, on n'arrivera jamais à deux mois de prédiction.

les lois de Newton sont fausses aux grandes vitesses

Il y eût bronca du XVIIe devant la notion d'action instantanée à distance, trop choquante. Et, en 1905, Einstein a modifié le Principe Fondamental de la Dynamique de façon que jamais aucune particule ne dépasse la vitesse-limite c : ainsi la simple loi dp/dt = mg° , qui donnait le célèbre z = 1/2 . g°.t² est modifiée de manière que la masse m n'atteigne au bout d'une distance z qu'une vitesse telle que:

<math> mc^2 \frac{1}{\sqrt(1-v^2/c^2)}= mc^2 +mgz</math>

Parfaitement conforme aux expériences de Bertozzi et des milliers d'autres (exemple étudié dans diagramme horaire). Personne ne conteste plus la relativité restreinte.

les lois de Newton et le temps absolu

Ce qui a ruiné les lois de Newton a été l'affirmation brutale : il existe un espace et un temps absolu.

On pouvait étendre à toute une classe de référentiels dits inertiels la notion d'espace absolu: quête sans fin, mais de plus en plus précise.

Par contre, Newton se méfiait du temps absolu : il savait qu'en changeant l'échelle de temps, l'expression de son PFD changeait. Il l'a même savemment utilisé. Mais évidemment, il fallait prendre une décision : quelle échelle de temps choisir ? Ce qui paraissait le plus simple était la fameuse loi de Kepler. Et tout était cohérent.

Les notions de temps relatif, de finitude des vitesses, de synchronisation et de transport du temps lui ont apparemment échappé. il a donc opté pour le temps dynamique absolu et édicté : le temps absolu s'écoule uniformément. C'est cette variable t qui intervient quand on écrit v := dx/dt , puis a := dv/dt. Il avait tort : Einstein corrigera. cf chronologie.

Hommage appuyé

Malgré tout, cet édifice des Principes reste un monument de la pensée humaine.

Certes, le petit résidu de 43" d'arc par siècle pour l'avance du périhélie de Mercure est bien compris gràce à la modification par Einstein des lois de Newton, mais il a fallu 200 ans pour le voir.

Et dans la vie commune des faibles vitesses (autre donc que l'architecture "relativiste" des bâtiments du LHC, au CERN), on se satisfait bien de ces merveilleuses lois du mouvement.

Et, dès que l'on veut la précision ultime (par exemple, une meilleure précision des systèmes de positionnement global, GPS ou Galileo), alors on sait qu'il faut corriger légèrement Newton par Einstein ("les géants s'épaulent..."!).