Pendule double
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Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur
<math> l_1 </math> et <math> l_2 </math>, de masse nulle et deux masses <math>M_1</math> et <math>M_2</math>. Le problème ne peut pas être bien mis en équation dans le formalisme newtonien, mais devient simple dans l'approche lagrangienne.
L'énergie cinétique vaut :
<math>T=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2</math>
<math>T=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 +
\frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 +
2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]
</math>
avec <math>\theta_i</math> l'angle par rapport à la verticale et <math>v_i</math> la vitesse du pendule <math>i</math>.
L'énergie potentielle vaut :
<math>V=m_1gz_1+m_2gz_2</math> (<math>z_i</math> étant l'altitude de la masse <math>i</math>), ou
<math>V=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta)-m_2gl_2\cos(\theta_2)</math>.
Le lagrangien vaut donc :
<math>L=T-V</math>, soit
<math>L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2
+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)</math>
Les équations de Lagrange donnent les équations du mouvement :
<math>(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+
m_2l_2\dot{\theta}_2^2\cos(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0</math>
<math>m_2l_2^2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)
-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2gl_2\sin(\theta_2)</math>
Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.
lien externe
dans la premiere equation de lagrange une erreur s est glissee, la bonne equation est disponible au lien precedent.
