Pendule de Foucault

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Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans un référentiel non galiléen. La première démonstration date de 1851, le pendule étant attaché au plafond du Panthéon de Paris. L'originalité du pendule repose sur le fait que la rotation de la Terre est ainsi mise en évidence par une expérience locale, à l'intérieur d'une pièce fermée, et qu'on peut également déterminer la latitude du lieu de l'expérience sans aucune observation astronomique extérieure.

Si l'on considère le repère centré au niveau du point de fixation du pendule (le toit du Panthéon par exemple), le pendule oscille toujours dans le même plan (par rapport à ce point) ; en revanche la Terre tourne sous lui (ce qui est prévu par les lois de Newton, et assez intuitif si l'on s'imagine au pôle). Dans un repère plus habituel, celui de la Terre, c'est donc le pendule qui va subir une rotation...

Le pendule doit être idéalement placé sur un pôle de la Terre (il ne fonctionne pas à l'équateur). Sa période dépend du sinus de la latitude. Par exemple :

un jour sidéral au niveau des pôles
1.4 jour à 45° de latitude
2 jour à 30°

Mise en équation

Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faibles pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.

Cas du pendule simple

Sans tenir compte de la rotation de la Terre, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : <math> \left \{ \begin{matrix} x = - \omega^2 x\\ y= - \omega^2 y \end{matrix} \right.</math> où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit <math>\omega = \sqrt{g/l}</math> où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. A titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est

<math> \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.</math>

Cas du pendule de Foucault

Avec la rotation de la Terre, il faut tenir compte de l'accélération de Coriolis <math>2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du pendule, <math>\vec{k}</math> est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur <math>\Omega \vec{k}</math> a pour composantes dans le repère Oxyz <math>\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}</math>. <math>\vec{v}</math> a pour composantes <math>\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix}</math>, de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes <math>\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}</math>.

Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : <math> \left\{\begin{matrix} x = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.</math>. Si on suppose encore qu'à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, on pourra vérifier que les solutions x et y du système différentiel sont telles que :

<math> \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.</math>

avec <math>\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}</math>. On peut écrire que :

<math>\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}</math>

Interprétation et comparaison

La quantité <math>{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t)</math> exprime le fait que le pendule de Foucault oscille avec une pulsation propre ω₀ très légèrement différente de celle du pendule simple, mais comme Ω est très petit devant ω, la différence entre ω et ω₀ est très faible.

Plus remarquable, l'oscillation se fait selon la direction <math>\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}</math> qui tourne lentement selon la pulsa

Le pendule revisité : quel système de référence ?

Cette explication, bien que correcte, présente néanmoins un problème. En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. On ne peut pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est fixe.

La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.

Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Pour ce paragraphe, source : [[1]]

Effets parasites

La mise en évidence de la rotation terrestre par le pendule de Foucault est une expérience délicate. Le plan d'oscillation du pendule tourne de quelques degrés par heure (maximum, 15 au Pôles). Plusieurs phénomènes risquent de masquer ce que l'on veut mettre en évidence :

l'amortissement du pendule par le frottement dans l'air. Il est proportionnel à la section du pendule, son poids est proportionnel au volume : on choisira un objet dense et lourd.
l'asymétrie du pendule. Celui-ci doit être parfaitement symétrique pour ne pas partir dans un sens ou dans l'autre. Il ne doit pas non plus tourner sur lui-même : l'effet Magnus le dévierait de son plan d'oscillation. Il faut aussi veiller au point d'attache.
Il doit être lancé sans composante perpendiculaire au plan d'oscillation. Victor Puiseux a montré que si le pendule effectuait une ellipse, celle-ci entraînait un effet de précession proportionnelle à son aire et inversément proportionnelle au carré de la longueur du pendule.<math>\omega_{puiseux} = {{3 \over 8}.{{a.b} \over {L^2}}.\omega_{pendule}}</math>. Il faut utiliser un pendule long et le lancer sans effet.

-- A améliorer/vérifier...

Divers

Le pendule que Foucault a installé au Panthéon en 1851 mesurait 67 mètres et portait une masse de 28 kilogrammes.

Dans le cadre de 2005 : Année Mondiale de la Physique un pendule de Foucault de 25 mètres et d'une masse de 42 kilogrammes sera installé du 7 au 19 mars dans la collégiale Sainte-Waudru à Mons (Belgique).

Ainsi qu'en la cathédrale d'Auch du 26 au 28 mai, le pendule fera 25 m de long pour une masse de 20 kg.

En 2005, on a installé un pendule de Foucault à Bruxelles, au fond de l'avenue de Beaulieu. La structure a été âprement critiqué pour sa laideur.

Exposition
- Du 15 10 05 au 30 10 05 Liège : Eglise Saint-André, place du Marché
  Exposition "Autour du pendule de Foucault " organisée par la Société Astronomique de Liège : http://www.astro.ulg.ac.be/~sal/fouc.htm (comme en 2001 ici)