Particule dans une boîte

En physique, la particule dans une boîte (ou puits de potentiel carré) est une idéalisation simple d'un système et est exactement soluble selon la mécanique quantique. C'est la situation d'une particule confinée spatialement dans une région finie de l'espace, restraint par des murs de potentiel infini à l'extérieur de cette région. La particule ne ressent aucune force à l'intérieur de la boîte, mais est retenue à l'intérieur de cette région par une force infinie à l'extérieur de la boîte. C'est une situation similaire à un gaz confiné dans un contenant. Pour simplifier, le cas unidimensionel sera premièrement traité. Ensuite, les cas bi et tridimensionnel seront vus.

Comme vous allez le voir, la solution de l'équation de Schrödinger pour une particule dans le problème d'une boîte révèle décidément des comportements quantiques qui sont en accord avec l'expérience mais contraires aux prédictions de la mécanique classique. C'est une illustration utile puisque ce comportement n'est pas « forcé » par le système, il provient naturellement des conditions initiales.

Le comportement quantique d'une particule dans une boîte inclut:

La quantification de l'énergie - La particule ne peut prendre que certaines valeurs d'énergie bien définies (discrétisation de l'énergie). Le résultat d'un tel système en mécanique classique démontrerait que le système peut prendre toutes les valeurs d'énergie possible (valeur continue, ou continuum).
Le point d'énergie zéro - L'énergie la plus basse admise n'est pas zéro.
Nœuds - En contraste avec la mécanique classique, l'équation de Schrödinger prédit que certains états possèdent des nœuds, donnant lieu à des positions où la particule ne peut pas être trouvée.

Sommaire

1 Le cas de la particule dans une boîte unidimensionnelle
2 La particule dans une boîte à 2 ou 3 dimensions
3 Propagation libre
4 Finite-potential case

Le cas de la particule dans une boîte unidimensionnelle

Pour le cas unidimensionel, soit dans la direction de l'axe <math>x</math>, l'équation de Schrödinger indépendante du temps peut-être écrite comme:

où

où h est la constante de Planck, m est la masse de la particule, ψ est la fonction d'onde (pouvant être complexe) que nous devons trouver, V(x) est une fonction décrivant le potentiel pour chaque valeur de x et E est l'énergie, un nombre réel. Pour le cas de la particule dans une boîte unidimensionelle de longueur L, le potentiel est zéro à l'intérieur de la boîte, mais augmente immédiatement à l'infini à x = 0 et x = L. Pour la région à l'intérieur de la boîte V(x) = 0 et l'équation 1 se réduit à: Image:1-D Box.png

Il s'agit là d'un problème bien connu de valeurs propres dont la solution générale

Où A et B sont des nombres complexes, et k est un nombre réel (k doit être réel parce que E est réel).

Maintenant, pour trouver les solutions spécifiques pour le problème d'une particule dans un puit de potentiel, nous devons spécifier les conditions aux bornes et trouver les valeurs de A et de B qui satisfont à ces conditions. Premièrement, on demande que ψ égale zéro pour x = 0 et x = L. Ces conditions peuvent être comprises par la valeur infinie du potentiel à ces positions, donc il est impossible de retrouver la particule à ces endroits. Ainsi, la probabilité de retrouver la particule, soit |ψ|², doit être petit dans ces régions et diminue en augmentant le potentiel. Dans le cas d'un potentiel infinie, , |ψ|² doit être nulle, et ψ doit être zéro dans cette région. En résumé,

Deuxièmement, on doit trouver les solutions correspondentes à la section de propagation libre a la fin de cet article, ca ne contraint pas la fonction d'onde à disparraitre à la frontière. Cela signifie que quand la particule atteint une frontière du puit, elle dispparait instantanément de ce coté du puit pour réapparaitre de l'autre coté, comme si le puit était une sorte de tore. La valeur des solutions est discutée dans la partie appropriée. Nous reprenons maintenant la dérivation avec des conditions de disparition à la frontière.

En remplacant la solution générale de l'équation 3 dans l'équation 2 et en se placant a x = 0 (ψ = 0), nous trouvons que B = 0 (car sin(0) = 0 and cos(0) = 1). Il en suit que la fonction d'onde doit être de la forme :

et en x = L nous trouvons :

Une solution pour l'equation 6 est A = 0, cependant, cette « solution triviale » impliquerait que ψ = 0 en tout point (i.e. la particule n'est pas dans la boite) et peut etre mise à l'écart. Si A ≠ 0 alors sin(kL) = 0, ce qui est seulement vrai quand :

<math>kL = n \pi \quad \mathrm{where} \quad n = 1,2,\ldots</math>

<math>\mathrm{or} \quad k = \frac{n \pi}{L} \quad (7) </math>

(remarquez que n = 0 ne convient pas car alors ψ=0 en tout point, correspondant au cas où la particule n'est pas dans la boîte. Les valeurs négatives de n son aussi négligé, car elles changent simplement le signe de sin(nx). Maintenant afin de trouver A on s'appercoit que la particule doit exister en un point de l'espace, donc l'integrale de |ψ|² sur l'axe x, ce qui correspond à la probabilité de trouver la particule en un point, est égale à 1 :

<math>1 = \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi \right|^2 \, dx = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 kx \, dx = \left| A \right|^2 \frac{L}{2}</math>

<math>\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}} \quad (8)</math>

Ainsi, A peut être tout nombre complexe de norme √(2/L); ces différentes valeurs de A se rapportent au même état physique, on choisit donc A = √(2/L) pour simplifier.

Finalement, en remplacant les résultats de l'équation 7 et 8 dans l'équation 3 on obtient la solution complete pour le problème d'une particule uni-dimensionnelle dans une boite :

<math>E_n = \frac{n^2\hbar^2 \pi ^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \quad n = 1,2, \cdots \quad (9)</math>
<math>\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \quad (10)</math>

Remarquons, que comme mentionné précédemment, seuls des niveaux d'énergie « quantifiés » sont possible. Aussi, puisque n ne peut être nul, la plus basse énergie d'après l'équation 9, est aussi non nulle. Ce point d'énergie nulle, on l'appelle ainsi, peut être expliqué par le principe d'incertitude. Puisque la particule est contrainte dans une région finie, la variance dans ses positions est majorée. Ainsi selon le principe d'incertitude la variance dans l'élan de la particule ne peut être nul, la particule doit donc contenir une certaine quantité d'énergie qui augmente autant que la longueur de la boite, L, diminue.

Aussi, puisque ψ est composée d'ondes sinusoidales, pour quelques valeurs de n supérieures à un, il y a des régions dans la boite pour lesquels ψ et ainsi que ψ² sont égales à 0, indiquant ainsi que pour ces niveaux d'énergie, des noeuds existent dans la boite où la probabilité de trouver une particule est nulle.

La particule dans une boîte à 2 ou 3 dimensions

Pour le cas bidimensionnel, la particule est confinée dans une surface rectangulaire de longueur L_x dans la direction x et L_ydans la direction y. Le potentiel est encore nul dans la « boîte » et infinie sur les murs. Pour la zone intérieure de la boîte, où le potentiel est nul, l'expresion bidimensionnelle analogue à l'équation 2 s'écrit:

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi \quad(11)</math>

Dans ce cas ψ est une fonction de x et de y, d'où ψ=ψ(x,y). Pour résoudre l'équation 11, on utilise une méthode de séparation des variables. D'abord, nous supposons que ψ peut s'exprimer comme un produit de deux fonctions indépendantes, la première dépendant seulement de x et la seconde seulement de y, i.e.:

En remplacant l'équation 12 dans l'équation 11 et en évaluant les dérivées partielle de la nous donne :

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y \quad(13)</math>

ce qui lors de la division par XY et en posant d²X/dx² = X"et d²Y/dy²= Y" devient :

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X}{X}+\frac{Y}{Y} \right) \quad = E(14)</math>

On remarque maintenant que puisque X"/X est indépendant de y, une variation de y peut seulement changer le terme Y"/Y. Cependant, d'après l'équation 14, faire varier Y"/Y sans faire varier X"/X, change aussi E, or E est constant, donc Y"/Y doit aussi être une constante indépendante de Y. Le même résonnement peut être utilisé pour montrer que X"/X est indépendant de x. Puisque X"/X et Y"/Y sont constants, on peut écrire :

où E_x + E_y = E. En utilisant la notation précédente pour X" et Y" on obtient:

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2X}{\partial x^2} = E_x X\quad (16)</math>

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2Y}{\partial y^2} = E_y Y\quad (17)</math>

chacune de ces équation est de la même forme que l'équation de Schrödinger unidimensionnelle (équation 2) que nous avons résolu dans la section précédente. Ainsi, d'après la partie précédente nous avons :

<math>X_{n_x}=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \quad (18)</math>

<math>Y_{n_y}=\sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \quad (19)</math>

Finallement, puisque ψ=XY et E = E_x + E_y, on obtient les solutions :

<math>\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \quad (20) </math>

<math>E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right] \quad (21) </math>

La même technique de séparation de variables peut être appliquée au cas tri-dimensionnel pour donner la solution :

<math>\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right) \quad (22)</math>

<math>E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right] \quad (23) </math>

Une propriété interressante des solutions ci-dessus est que quand deux ou plus des longueurs sont les même (eg.L_x = L_y), il y'a plusieurs fonction d'onde correspondantes à la même énergie totale. Par exemple la fonction d'onde avec n_x = 2, n_y = 1 a la même énergie que la fonction d'onde avec n_x = 1, n_y = 2. Cette situation est appellée dégénérescence et pour le cas où exactement deux fonction d'onde dégénérée ont la même énérgie, ce niveau d'énergie est dit doublement dégénéré. La dégénérescence résulte de la symétrie du système. Pour le cas ci-dessus deux des longueurs sont égales, le système est donc symétrique avec une rotation de 90°.

Propagation libre

Si le potentiel est nul (ou constant) en tout point, on définit une particule libre. Ceci apporte quelques difficulté de normalisation de la fonction d'onde. Une mannière de contourner le problème est de contraindre la particule dans un volume finit V de grandeur arbitraire, dans lequel il n'y a pas d'obstacle à la propagation. Il est éxigé que pour la limite de V→ ∞ nous récupérions la particule libre tout en permettant dans les calculs intermédiaires l'utilisation des états correctement normalisés. Aussi, quand nous décrivons par exemple une particule se déplacant dans un solide, on ne s'attend pas a des états localisés spatialement mais au contraire des états complètement délocalisés (dans le solide), ce qui signifie que la particule se propage à travers lui (puisqu'elle peut être partout avec la même probabilité, à l'inverse des solutions sinusoïdales que nous avons rencontrées lorsque la particule a des localisations préférentielles). Cette interprétation découle des solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel nul avec les conditions aux limites dites "Von-Karman boundary conditions", i.e., la fonction d'onde prend les même valeurs sur les faces opposées de la boîte, mais pas nécessairement nulles dans ce cas. On vérifie ensuite que les fonctions suivantes sont solution de l'équation 1:

<math>\textrm{en~1D}:\ \psi_k(x)={1\over\sqrt L}e^{ikx},\quad k={2n\pi\over L}, n\in\mathbb{Z}</math>
<math>\textrm{en~3D}:\ \psi_{\mathbf{k}}(x)={1\over\sqrt{L^3}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}},\quad k_x={2n_x\pi\over L}, k_y={2n_y\pi\over L}, k_z={2n_z\pi\over L}, n_x, n_y, n_z\in\mathbb{Z}</math>

L'énergie reste <math>\hbar^2 k^2/2m</math> (cf. eq. 3) mais il est intéressant de noter que, ici les k sont le double de la solution précédente (cf. eq. 7). C'est parce que dans le cas précédent, n était strictement positif alors qu'ici il peut être négatif ou nul (l'état fondamental). Les solutions where the sine does not superpose to itself after a translation of L can not be recovered with exponentials, since in this propagating particle interpretation, the derivative is discontinuous at the border, meaning that the particle acquires infinite velocity here. This shows how the two interpretations bear intrinsically differing behaviours.