Parité d'une fonction réelle
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Une fonction <math>f : E\to F</math>, avec <math>E\subseteq\R</math> et <math>F\subseteq\R</math>, est :
- paire si et seulement si pour tout <math>\ x</math> de <math>\ E</math>, on a <math>-x\in E</math> et <math>\ f(x) = f(-x)</math>. Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.
- impaire si et seulement si pour tout <math>\ x</math> de <math>\ E</math>, on a <math>-x\in E</math> et <math>\ f(-x) = -f(x)</math>. Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.
Utilisation
La parité des fonctions sert par exemple à n'étudier la fonction que sur la moitié de son intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie.
Décomposition en fonctions paires et impaires
On peut montrer que si E est un sous-ensemble de <math>\R</math> contenant 0, toute fonction <math>f : E\to F</math> peut se décomposer comme une somme unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par conséquent, on peut parler de la partie paire de f et de la partie impaire de f. Par exemple, <math>e^x</math> se décompose comme la somme unique de <math>\operatorname{ch} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> et de <math>\operatorname{sh} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>.
Soit I un sous-ensemble de <math>\R</math> contenant 0 et <math>f : I\to\R</math>.
Soient g et h deux fonctions de I dans <math>\R</math> telles que :
<math>\forall x \in I, g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}</math>
<math>\forall x \in I, h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}</math>
On alors que g est paire car <math>\forall x \in I, g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)</math>
et également que h est impaire car <math>\forall x \in I, h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)</math>
<math>g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x) + f(-x) - f(-x)}{2} = f(x)</math>
On a donc f = g + h.
Supposons que f = k + l, où <math>k : I\to\R</math> est une fonction paire et <math>l : I\to\R</math> est une fonction impaire.
<math>\frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{k(x) + l(x) + f(-x) + l(-x)}{2} = \frac{k(x) + k(-x)+ l(x) + l(-x)}{2} = \frac{k(x) + k(x)+ l(x) - l(x)}{2} = k(x)</math>
On a donc que k(x) = g(x) et de même, l(x) = h(x).La décomposition de f = g + h est donc unique.
