Oscillateur harmonique

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Un oscillateur est dit harmonique si son mouvement en l'absence de toute excitation peut se décrire par une quantité variant de façon sinusoïdale dans le temps.

Par exemple, un oscillateur constitué d'une masse accrochée au bout d'un ressort est harmonique en l'absence de frottements : si le ressort est horizontal, on obtient l'équation suivante (deuxième loi de Newton) en x, abscisse du centre d'inertie de la masse : <math>\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x = 0</math>, avec <math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>

<math>\omega_0</math> est appelée pulsation propre de l'oscillateur harmonique. Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme <math>x = x_0 \sin(\omega_0 t + \varphi)</math>, ce qui est caractéristique d'un oscillateur harmonique.

On obtient une autre caractérisation des oscillateurs harmoniques en utilisant la conservation de l'énergie mécanique : si l'énergie du système vérifie une équation de la forme <math> \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E_0 </math>, alors en dérivant membre à membre l'équation par rapport au temps on retombe sur l'équation précédente.