Nombres pairs et impairs
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En mathématiques, n'importe quel entier (nombre plein) est soit pair ou impair. S'il est multiple de deux, c'est un nombre pair ; autrement, c'est un nombre impair. Par exemple, voici des nombres pairs : -4, 8, 0, et 70, et voici des nombres impairs : -5, 1, et 71. Le nombre zéro est pair, parce qu'il est égal à 2 multiplié par 0.
L'ensemble des nombres pairs peut être écrit comme ceci :
- Pairs {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...}
et l'ensemble des nombres impairs peut être montré comme ceci :
- Impairs {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...}
Un nombre exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair.
Suivant cela, si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7, ou 9, alors le nombre est impair ; autrement, il est pair.
La même idée marchera en utilisant n'importe quelle base paire.
En particulier, un nombre exprimé en système de numération binaire est impair si son dernier chiffre est 1 et pair si son dernier chiffre est 0.
Dans une base impaire, le nombre est pair ou impair suivant la somme de ses chiffres.
Les nombres pairs forment un idéal dans l'anneau des entiers, mais pas les nombres impairs. Un entier est pair s'il est congru à 0 modulo cet idéal, en d'autres mots s'il est congru à 0 modulo 2, et impair s'il est congru à 1 modulo 2.
Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2. Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair.
La conjecture de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que cette conjecture est vraie pour les entiers inférieurs à 4 × 1014, mais la démonstration générale n'a pas encore été trouvée.
Avec les instruments à vent qui sont cylindriques et clos à une extrémité, comme la clarinette à bec, les harmoniques produites sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale.
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Arithmétique des nombres pairs et impairs
Les lois suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de la divisibilité et le fait que 2 est un nombre premier :
Addition et soustraction
- pair ± pair = pair ;
- pair ± impair = impair ;
- impair ± impair = pair.
Multiplication
- pair × pair = pair ;
- pair × impair = pair ;
- impair × impair = impair.
Division
La division de deux nombres entiers n'a pas nécessairement comme résultat un nombre entier. Par exemple, 1 divisé par 4 égale 1/4, qui n'est ni pair ou impair, les concepts pair et impair ne s'appliquant seulement que sur les entiers. Mais lorsque le quotient est un entier :
- pair / impair = pair ;
- impair / impair = impair ;
- impair / pair n'est jamais un entier ;
- pair / pair peut être n'importe lequel.
