Nombre transfini

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Les nombres transfinis sont les nombres infinis découverts et explorés par le mathématicien Georg Cantor. Cantor a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles.

Sommaire

1 Aspect épistémologique
2 Distinction importante
3 Nombres ordinaux transfinis
4 Nombres cardinaux transfinis
5 Voir aussi

Aspect épistémologique

Les travaux de Cantor sur la théorie des ensembles ont été à la source de nombreux paradoxes, et ont contribué à la crise des fondements qu'ont connu les mathématiques, entre la fin du XIX^e et le début du XX^e siècle. Kronecker, par exemple, a exprimé pourquoi ils ne considérait pas comme mathématiquement valides les démonstrations de Cantor faisant intervenir l'infini de deux façons différentes en considérant l'un comme achevé et l'autre comme en construction.

Une fameuse boutade de David Hilbert résume le choix de bon nombre de mathématiciens : « Cantor a créé pour les mathématiciens un paradis dont ils ne se laisseront pas expulser ».

Les nombres transfinis ont peu d'applications en dehors des mathématiques à l'heure actuelle (2005). Cela n'est pas nécessairement significatif, ainsi que le montrent quelques exemples historiques (nombres complexes en particulier). Toutefois au cours du siècle écoulé les physiciens ne se sont pas montrés demandeurs de ce genre de travaux.

Cette situation est à opposer à d'autres travaux mathématiques qui furent au contraire inspirés au départ par un souci de formaliser et généraliser de procédés employés empiriquement en physique : le calcul opérationnel avait été formalisé par la transformée de Laplace, et les fonctions de Dirac par la théorie des distributions de Laurent Schwartz.

Distinction importante

Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Bien que semblables en apparence, ces deux concepts cantoriens doivent être distingués lorsque l'on s'intéresse à des ensembles infinis.

Nombres ordinaux transfinis

En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles :

0 = {} (ensemble vide)

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {} , { {} }, { {}, { {} } } , {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

etc. De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels. Cela nous conduit à la définition d'un nombre ordinal par John von Neumann : un ensemble E est un ordinal si et seulement si E est totalement ordonné pour l'inclusion et tout élément de E est aussi un sous ensemble de E. Cette approche permet d'envisager les nombres ordinaux infinis.

L'existence des ordinaux infinis est assuré par L'axiome de l'infini.

Le premier nombre ordinal transfini est ω, cf. alphabet grec. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels <math>\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}</math>. L'addition des nombres entiers naturels, traduite en terme d'ensembles, permet de généraliser l'addition aux nombres ordinaux transfinis. Cette addition est associative mais pas commutative. Elle donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis. Ainsi <math>\omega < \omega + 1 < \omega 2</math>, mais <math>\omega = 1 + \omega = 2 \omega</math>.

On montre qu'il existe une infinité de nombres ordinaux transfinis : <math>\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \cdots < \omega+\omega = \omega 2 </math>

<math>\omega 2 < \cdots < \omega\omega = \omega^2 < \cdots < \omega^\omega < \omega^{\omega^\omega} < \cdots </math>

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et <math>\omega</math>. Le plus petit d'entre eux est appelé <math>\epsilon_0</math> et vaut <math>\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}</math>. Il est en outre solution de l'équation <math>x=\omega^x</math>.

À noter que les ordinaux ne forment pas un ensemble, au sens des axiomes ZFC de la théorie axiomatique des ensembles habituelle, mais une classe propre. Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : l'ensemble des ordinaux serait par définition un ordinal ... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que tous les ordinaux. Ceci est évidemment contradictoire.

Nombres cardinaux transfinis

À tout ensemble correspond un nombre cardinal. Le cardinal d'un ensemble fini à n éléments est n. Le cardinal de l'ensemble infini <math>\mathbb{N}</math> des nombres entiers naturels est noté <math>\aleph_0</math> (aleph-zéro), cf. alphabet hébreu. <math>\aleph_0</math> est le plus petit nombre transfini cardinal. Il est plus grand que tout entier naturel. Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'ils sont en bijection. Ainsi, le cardinal de tout ensemble dénombrable infini est aussi <math>\aleph_0</math>, c'est le cas par exemple de l'ensemble des nombres algébriques. De manière plus générale, on montre que les ensembles des types suivants sont infinis dénombrables

l'union de <math>\mathbb{N}</math> avec un ensemble fini
l'union d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables
le produit d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables

Ces propriétés se traduisent sur le nombre transfini <math>\aleph_0</math> par les formules suivantes

<math>\aleph_0+n=\aleph_0</math> pour tout entier naturel <math>n</math>
<math>\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0</math>
<math>\aleph_0^n=\aleph_0</math> pour tout entier naturel <math>n>0</math>

Mais l'infini ne se résume pas à <math>\aleph_0</math>. On montre à l'aide de l'argument diagonal de Cantor que l'ensemble <math>\mathbb{R}</math> des nombres réels n'est pas dénombrable. Si l'on note <math>\aleph_1</math> le nombre cardinal transfini associé à <math>\mathbb{R}</math>, on a donc

<math>\aleph_0 < \aleph_1</math>.

<math>\aleph_1</math> est parfois noté <math>2^{\aleph_0}</math> par analogie avec les cardinaux finis car <math>\mathbb{R}</math> est en bijection avec l'ensemble des parties de <math>\mathbb{N}</math>. On a donc avec cette notation que <math>\aleph_0 < 2^{\aleph_0}</math>. De manière plus générale, on montre que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours strictement plus gros que l'ensemble de départ. Ainsi,

<math>\aleph_0 < 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}} < \cdots</math>

Il existe donc une infinité de nombre cardinaux transfinis !

On a longtemps cherché à savoir s'il existait un nombre transfini strictement compris entre <math>\aleph_0</math> et <math>2^{\aleph_0}</math>, cf. hypothèse du continu. La réponse de Paul Cohen est plutôt surprenante, quoique présagée par Kurt Gödel.