Nombre transcendant

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Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0</math>

où <math>n \ge 1\,</math> et les coefficients <math>a_i\,</math> sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un au moins est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.

L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques.

Les premiers nombres bien définis dont on a pu montrer la transcendance sont les nombres de Liouville, démontrés transcendants par Joseph Liouville en 1844. Un exemple de nombre de Liouville est:

<math>

c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000.... </math>

dans lequel le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) et 0 sinon. Le premier nombre a avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration sur la transcendance de <math>\pi\,</math> et ainsi montra l'impossibilité de la quadrature du cercle. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce au théorème de Gelfond-Schneider : Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre <math>a^b\,</math> est transcendant. On peut par exemple déduire de ce théorème la transcendance de <math>e^{\pi}\,</math> et <math>2^{\sqrt{2}}\,</math>. Ou si a est un nombre algébrique non nul alors <math>e^{a} \,</math> est transcendant.

Résultats : Considérons l'ensemble A, des nombres algébriques, alors :

A est un sous corps de R. En particulier A est stable par addition et multiplication.
A est dénombrable, ce qui montre bien que A est différent de l'ensemble R (Les nombres transcendants existent bien).

Exemples

Le nombre <math>\pi\,</math> (voir l'article pi).
Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
<math>e^{\pi}\,</math> constante de Gelfond
<math>2^{\sqrt{2}}\,</math> (constante de Gelfond-Schneider) ou plus généralement <math>a^b\,</math> (voir le théorème de Gelfond-Schneider) où <math>a \ne 0\,</math> ou <math>a\ne 1\,</math> est algébrique et b est algébrique mais non rationnel. Le cas général du septième problème de Hilbert, c’est-à-dire déterminer si <math>a^b\,</math> est transcendant lorsque <math>a \ne 0\,</math> ou <math>a\ne 1\,</math> est algébrique et b est irrationnel, reste non-résolu.
La valeur de la fonction trigonométrique <math>\sin(1)\,</math>
<math>\ln(a)\,</math> si a est positif, rationnel et <math>a \ne 1</math>.
<math>\Gamma(\frac{1}{3})\,</math> et <math>\Gamma(\frac{1}{4})\,</math> (voir fonction Gamma d'Euler).
<math>\Omega\,</math>, constante de Chaitin.
Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
L'un au moins des deux nombres <math>e + \pi\,</math> et <math>e.\pi\,</math> est transcendant. En effet, <math>e\,</math> et <math>\pi\,</math> qui sont tous deux transcendants, sont aussi solutions de l'équation <math>x^2 - (e+\pi)x + e.\pi = 0\,</math>. On conjecture même que <math>e + \pi\,</math> et <math>e.\pi\,</math> sont tous les deux transcendants. En effet si <math>e + \pi\,</math> et <math>e.\pi\,</math> étaient tous les deux algébriques, l'équation du second degré auraient ses deux racines <math>e\,</math> et <math>\pi\,</math> algébriques, en contradiction avec le fait qu'ils sont connus comme étant transcendants.
<math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; , </math>

où <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> est la fonction entière. Par exemple si <math>\beta = 2\,</math> alors ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000...

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