Nombre rationnel

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Un nombre rationnel est un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire, d'un quotient de deux nombres entiers.

L'ensemble des nombres rationnels est noté <math>\mathbb Q</math>.

Sommaire

1 Développement décimal
2 Rationnels, irrationnels
3 Autres écritures
4 Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction
5 Liens externes

Développement décimal

Comme tous les nombres réels, les nombres rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique (C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant indéfiniment. Cette séquence sera appelée une période du développement décimal illimité.).

Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une suite illimitée de « 9 ». En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une suite illimitée de « 0 » (et mieux, un développement décimal limité équivalent).

Quelques exemples :

1/3 = 0,3 = 0,33 = 0,333... (on répète la période « 3 » indéfiniment ... mais « 33 » est aussi une période.)

50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951...

3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 (mais aussi = 0,749 999 99...)

1 = 1,0 = 1,000 00...

(dans les égalités ci-dessus, les groupements de chiffres soulignés désignent des périodes)

Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel.

Ainsi, par exemple, le nombre 0,12 122 1222 12222... (où l'on a des séquences de « 2 » de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel.

Ainsi, 2,4 (qui peut s'écrire sous la forme 12/5) est rationnel, de même que 13,444... (=121/9). Les nombres entiers sont tous rationnels.

En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration).

L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels

<math>\mathbb R = \bar \mathbb Q</math>

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes ; p.ex.

3/4 = 1/2+1/4

47/72 = 1/2+1/7+1/101+1/50904 = 1/2 + 1/8 + 1/36

Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles ; p.ex.

1/12 = -1/4+1/3

35/72 = 35/8-35/9

Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction.

Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction:

<math> 178,\underline{0} = \frac {1780 - 178} {9} = \frac {9 \times 178} {9} = 178</math>

<math> 178,\underline{5} = \frac {1785 - 178}{9} = \frac {1607}{9}</math>

<math> 178,\underline{45} = \frac {17845 - 178}{99} = \frac {17667}{99}</math>

<math> 178,\underline {4210} = \frac {1784210 - 178}{9999} = \frac {1784032}{9999}</math>

Et lorsque la période est décalée

<math> 178,10\underline {45} = \frac {17810,\underline {45}} {100} = \frac {1781045 - 17810}{100 \times 99} = \frac {1763235}{100 \times 99} = \frac {1763235}{9900}</math>

L'on peut prouver que <math>12,9......9 = 13\,</math> en procédant de la sorte

<math>12,9999....9 = 12,\underline{9} = \frac {129-12}{9} = \frac {117}{9} = \frac {13 \times 9}{9} = 13</math>