Nombre réel

Un article de Freepedia.

Les nombres réels sont la représentation mathématique de toute grandeur mesurable.

Notion intuitive

Toute mesure d'une grandeur n'est qu'une représentation de la grandeur réelle et implique une notion de nombres réels. Si l'on veut mesurer la longueur d'un objet avec une règle graduée, on va commencer par déterminer, le plus grand nombre d'unités en dessous de sa longueur, puis si la règle le permet le nombre de dixièmes d'unité entre le nombre d'unités obtenu et sa longueur, le nombre de centièmes ... On va ainsi obtenir un nombre décimal donnant une valeur approchée de sa grandeur réelle. On procède de même lorsqu'on mesure la température de l'air avec un thermomètre à alcool. Dans tous les cas, on a l'impression que l'on n'aura jamais une mesure parfaitement exacte de la grandeur.

Naïvement, un nombre réel se définit par la possibilité d'en donner des valeurs approchées.

Les nombres réels sont les nombres utilisés pour représenter une quantité continue (y compris zéro et les quantités négatives). On peut penser un nombre réel comme un nombre décimal illimité comme 324,823 211 247...; les nombres réels sont en bijection avec les points sur une ligne droite. Les mesures en sciences naturelles sont presque toujours exprimées en nombres réels. Les nombres réels sont l'objet d'étude central en analyse réelle.

Les nombres réels incluent les entiers relatifs, les rationnels (les fractions, comme 1/3) et irrationnels (comme la racine carrée de 2), certains nombres algébriques (comme la racine carrée de 2) et des nombres transcendants (comme pi (π)). Il y a une infinité de tels nombres.

Souvent, les nombres réels sont mis en correspondance avec les points d'une droite, appelée droite réelle. Considérons une droite D d'origine O, et un point I distinct de O appartenant à D, et choisissons un sens de O vers I. À tout point M de la droite, on associe (suivant que le sens de O vers M soit le même ou pas que celui de O vers I) + ou - le rapport entre la distance qui sépare les points M et O, et la distance entre les points O et I prise comme unité. Ce nombre réel est appelé abscisse du point M considéré. Cette application bijective permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite.

Image:DroiteR1.png

l'abscisse du point <math>Q</math> est égale à <math>-\frac{OQ}{OI}=-3</math>,

<math>OI</math> et <math>OQ</math> désignant les distances de <math>O</math> à <math>I</math> et de <math>O</math> à <math>Q</math> respectivement

Les ordinateurs ne peuvent seulement qu'approcher la plupart des nombres réels avec des nombres rationnels; ces approximations sont connues sous le nom de nombres à virgule flottante ou nombres à virgule fixe. (Voir types de données.)

Certains systèmes informatiques de calcul algébrique peuvent travailler avec des nombres réels de manière exacte en emmagasinant leur description algébrique (tel que sqrt(2)) plutôt qu'une approximation décimale.

Les mathématiciens utilisent le symbole R pour représenter l'ensemble de tous les nombres réels.
On trouve deux façons de réaliser sa typographie :

ℝ (R majuscule ajouré, Unicode $211D)
ou bien <math>\mathbb R</math> (avec la syntaxe TeX)

Dans l'histoire des mathématiques, ce n'est qu'à la fin du XIX^e siècle que la première définition rigoureuse d'un nombre réel est donnée avec les coupures de Dedekind dans son ouvrage : « Was sind und was sollen die Zahlen » (ce que sont et ce que doivent être les nombres).

Construction théorique

L'ensemble des nombres réels peut etre obtenue par completion de l'ensemble des rationnels, completion au sens de l'ordre (coupures de Dedekind) ou au sens metrique (suites de Cauchy). Ainsi, un nombre reel peut-etre vu comme la borne superieure d'un ensemble borne de rationnels, ou comme la limite d'une suite de Cauchy de rationnels.