Nombre premier (mathématiques élémentaires)
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Nombre premier
Définition
- Un nombre naturel est premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
- Le plus petit nombre premier est 2. Les suivants sont 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41...
Comment reconnaître un nombre premier ?
- Tout entier naturel non premier distinct de 1 admet au moins un diviseur premier.
- Soit <math>n</math> un entier supérieur ou égal à 2. Si <math>n</math> n'est divisible par aucun nombre premier <math>p</math> tel que <math>2 \le p \le \sqrt{n}</math>, alors <math>n</math> est premier.
Infinité des nombres premiers
Nombres premiers et cryptographie
Il est aisé de multiplier deux nombres premiers et d'obtenir un entier n, mais même les ordinateurs les plus puissants ne parviennent pas à trouver la décomposition en facteurs premiers d'un nombre très grand. C'est sur cela que se base des systèmes de cryptographie, par exemple le système RSA.
Nombres premiers entre eux
- Définition :
On dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Leurs seuls diviseurs communs sont donc 1 et -1.
- Remarque :
Deux nombres premiers sont automatiquement premiers entre eux. Une fraction de nombre premiers entre eux est irréductible.
- Application :
Soit la fraction <math>\frac{15}{28}</math>. Est-elle irréductible ?
Après calcul du PGCD, on sait que 15 et 28 sont premiers entre eux. Donc cette fraction est irréductible.
