Nombre parfait
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Un nombre parfait est un nombre entier naturel qui est égal à la somme de ses diviseurs, y compris 1, mais excepté lui-même bien entendu.
Euclide (mathématicien), au IIIe siècle av. J.-C., a découvert et prouvé que si <math>M=2^p-1\,</math> est premier, alors <math>M\cdot\left ( \frac{M+1}{2} \right ) = 2^{p-1}(2^p - 1)</math> est parfait.
Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2p-1).
On ignore s'il existe des nombres parfaits impairs; un tel nombre doit avoir au moins 11 facteurs premiers distincts dont au moins un est supérieur à 300 000; un nombre parfait impair doit être supérieur à <math>10^{300}</math>.
Exemples
Les quatre premiers nombres parfaits, connus depuis l'Antiquité, sont :
- 6 = 1 + 2 + 3
- 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Curiosité
En divisant chacune des égalités ci-dessus par le nombre parfait correspondant, on découvre une propriété de certaines fractions égyptiennes :
- 1 = 1/6 + 1/3 + 1/2
- 1 = 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2
- et ainsi de suite
Voir aussi :
- Nombre abondant
- Nombre aimable
- Nombre amical
- Nombre déficient
- Nombre parfait
- Nombre presque parfait
- Nombre premier
- Nombre sociable
