Nombre ordinal

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Remarque : en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux.

Un nombre ordinal ou ordinal « mesure l'étendue » d'un ensemble bien ordonné quelconque, et ce, d'une manière plus fine que de considérer seulement sa cardinalité.

Ce nombre peut être fini, dans ce cas c'est un entier naturel, ou bien infini.

Définition rigoureuse

On définit un nombre ordinal, en général, par l'une des deux manières qui suivent :

Définition ensembliste, similaire à celle des entiers naturels :

Ø (ou { }), l'ensemble vide, est un ordinal, que l'on appellera 0 (zéro).

Un ordinal a est strictement inférieur à un ordinal b (a < b) si et seulement si a ∈ b.

Un ensemble E d'ordinaux clos par < (si b ∈ E et a < b, alors a ∈ E) est un ordinal. (pour les entiers ou ordinaux finis, on se limitera à considérer des ensembles E finis, et l'on définira ainsi la fonction successeur)

Autre formulation (John von Neumann) : un ordinal est un ensemble totalement ordonné par l'inclusion et dont les éléments sont ses sous-ensembles stricts.

Définition par les ensembles ordonnés :

Un ordinal est un bon ordre considéré à un isomorphisme d'ordre près (dans la catégorie des bons ordres où les morphismes sont les applications croissantes et les isomorphismes les bijections croissantes).

Ainsi, si on change les noms des éléments d'un bon ordre, tant qu'on ne change pas la manière dont les éléments se comparent entre eux, on parle toujours du même ordinal.

Les ordinaux sont totalement ordonnés par l'inclusion (toujours à un isomorphisme près, pour la deuxième définition), mais ne forment pas un ensemble au sens des axiomes ZFC (la théorie axiomatique des ensembles habituelle), mais une classe propre. Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : l'ensemble des ordinaux serait par définition un ordinal ... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que tous les ordinaux. Ceci est évidemment contradictoire.

On peut aussi définir des opérations arithmétiques sur les ordinaux.

Exemples d'ordinaux

En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles :

0 = {} (ensemble vide)

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {} , { {} }, { {}, { {} } } , {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

etc. De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels. Cela nous conduit à la définition d'un nombre ordinal par John von Neumann : un ensemble E est un ordinal si et seulement si E est totalement ordonné pour l'inclusion et tout élément de E est aussi un sous ensemble de E. Cette approche permet d'envisager les nombres ordinaux infinis.

L'existence des ordinaux infinis est assuré par L'axiome de l'infini.

Le premier nombre ordinal transfini est ω, cf. alphabet grec. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels <math>\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}</math>. L'addition des nombres entiers naturels, traduite en terme d'ensembles, permet de généraliser l'addition aux nombres ordinaux transfinis. Cette addition est associative mais pas commutative. Elle donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis. Ainsi <math>\omega < \omega + 1 < \omega 2</math>, mais <math>\omega = 1 + \omega = 2 \omega</math>.

On montre qu'il existe une infinité de nombres ordinaux transfinis :

<math>\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \dots < \omega+\omega = \omega 2 < \dots < \omega\omega = \omega^2 < \dots < \omega^\omega < \omega^{\omega^\omega} < \dots </math>

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et <math>\omega</math>. Le plus petit d'entre eux est appelé <math>\epsilon_0</math> et vaut <math>\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}</math>. Il est en outre solution de l'équation <math>x=\omega^x</math>.