Nombre hypercomplexe
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Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels.
Ils forment des algèbres réelles dont la dimension est une puissance de deux :
- quaternions : quatre dimensions
- octonions : huit dimensions
- sédénions : seize dimensions
Histoire
Les quaternions furent inventés par l'irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton recherchait des manières d'étendre les nombres complexes (qui peuvent être assimilés à des points d'un plan) à des dimensions plus élevées de l'espace. Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois mais la dimension quatre produisit les quaternions.
Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.
Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».
À la fin de l'année 1843 John Graves et Arthur Cayley découvrent indépendamment une algèbre de dimension huit : les octonions. Celle-ci n'est plus associative.
Propriétés
On peut créer une infinité d'algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l'algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter:
- À chaque rang les dimensions des nombres sont doublées ;
- À chaque rang une propriété est perdue.
| n | 2n | nom | limite |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | réels | - |
| 1 | 2 | complexes | perte de la comparaison |
| 2 | 4 | quaternions | perte de la commutativité |
| 3 | 8 | octonions | perte de l'associativité |
| 4 | 16 | sédénions | perte de l'alternativité |
Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro (x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0), ce qui implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.
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