Entier relatif

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Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit <math>\mathbb Z</math> comme le quotient de <math>\mathbb N\times\mathbb N</math> par la relation <math>(a,b)R(a',b')</math> si, et seulement si, <math>a+b'=a'+b</math>, i.e. un couple <math>(a,b)</math> représente l'intuitif entier relatif <math>a-b</math>. Cet ensemble est noté <math>\mathbb Z</math>, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre).

Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux.

La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit, <math>(\mathbb Z,+)</math> est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation <math>R</math> admet un représentant ayant ou bien la forme <math>(0,a)</math> (il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme <math>(a,0)</math> (il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément <math>(0,0)</math> étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi <math>\mathbb Z</math> peut être vu comme la donnée <math>(\{0\}\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \{0\})</math>. Ainsi on vérifie aisément que <math>R</math> est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que <math>(0,0)</math> est un élément neutre et que <math>(a,0)</math> et <math>(0,a)</math> sont symétriques l'un de l'autre (i.e. <math>(a,a)R (0,0)</math>)pour tout <math>a \in \mathbb N</math>.

Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans <math>\mathbb Z</math>, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (<math>\mathbb Z</math>, +, *) est un anneau commutatif.

Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini.

La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.