Nombre d'or
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Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre :
- <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887...</math>
Sommaire |
Propriétés algébriques
Équation
C'est l'unique racine positive de :
- <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math>
ou, comme <math>\phi</math> est différent de 0
- <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>
Puissances du nombre d'or
- <math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>
En effet, il suffit de multiplier l'égalité <math> \varphi^2 = 1 + \varphi</math> par <math>\varphi^{n-2}</math>
Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les nombres de Fibonacci <math>F_k\,</math>; à savoir :
- <math>\forall k\in\mathbb{N}^*, \quad F_{k+1} = F_k + F_{k-1}\,</math>
Proportion
Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, i.e.
- <math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}.</math>
De manière équivalente, ils sont dans le rapport du nombre d'or si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence :
- <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}.</math>
De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par a/b et de la seconde par (a-b)/b), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :
- <math>\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1</math>
et ainsi
- <math>\frac{a}{b} = \varphi</math>
Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs a et b qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (dans les vieux textes) exprimé comme « la longueur est coupée en extrême et moyenne raison ».
Suite de Fibonacci
L'expression explicite des termes d'une suite de Fibonacci utilise le nombre d'or et son inverse.
De plus, la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égale au nombre d'or.
Écritures possibles
Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynomiale, c'est un nombre algébrique. Il peut être montré que φ est un nombre irrationnel.
Comme <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>, la représentation de φ en fraction continue s'écrit :
- <math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>
Comme <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math>, la représentation de φ avec une itération infinie de racines carrées s'écrit :
- <math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>
Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or).
Propriétés géométriques
Rectangle d'or
On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'or.
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé. (ceci est un « secret » de compagnonnage)
Voici une raison possible de l'attrait, suscité par le rectangle d'or : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :
Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les propriétés algébriques,
- <math> \frac{b}{a-b} = \frac{a}{b} = \varphi</math>
En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits.
Triangles d'or
Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté/base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent et ceux pour lesquels le rapport base/côté vaut φ.
Dans la figure jointe, il est facile de prouver que le triangle ABD est semblable au triangle BCA et dans rapport de 1/φ
Le nombre d'or vérifiant l'égalité
- <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>,
on prouve aisément que le triangle BCD est isocèle de sommet D. D'où il vient que l'angle de sommet B est double de celui de sommet C. La somme des angles d'un triangle valant 180°, on obtient pour l'angle C le cinquième de l'angle plat soit 36° et pour l'angle B les deux cinquièmes de l'angle plat soit 72°. Puisqu'il s'agit de découper un angle plat en 5, il n'est pas surprenant de retrouver ces triangles d'or dans le pentagone régulier et dans le pentacle.
Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus. Ces faits expliquent que l'on retrouve ces deux éléments dans les pavages de Penrose
Spirales d'or
On peut construire, à partir d'un rectangle d'or, une spirale d'or en traçant des quarts de cercle dans chaque carré. Cette spirale se rapproche d'une spirale logarithmique de centre l'intersection des deux diagonales des deux rectangles et d'équation polaire:
- <math> r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{pi/2}}</math>
On peut construire, à partir du triangle d'or, une spirale d'or triangulaire se rapprochant d'une spirale logarithmique d'équation polaire
- <math> r (\theta) = r.\varphi^{\frac{\theta}{3pi/5}}</math>
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Nombre d'or, mythe ou réalité
Euclide l'appelle la proportion de moyenne et extrême raison. Les Pythagoriciens en font un symbole de leur secte avec la figure géométrique qui lui est associée : le pentacle. Léonard de Pise le retrouve dans les suites qui portent son nom. Le moine mathématicien Luca Pacioli lui consacre un livre intitulé Divina proportione avec la collaboration de Léonard de Vinci pour les figures. Celui-ci l'appelle la section dorée.
Johannes Kepler dit de lui« La géométrie a deux grands trésors : l'un est le théorème de Pythagore ; l'autre la division d'un segment en proportion d'or. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou. »
La découverte de sa présence quasi-parfaite dans le Parthénon construit par Phidias fait qu'on lui attribue, en son honneur, la lettre φ comme nom. Cette proportion considérée comme esthétique est étudiée ensuite par Charles Henry et Georges Seurat. Une exposition "la section d'or " lui est consacrée en 1912. Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit du nombre d'or partout : les spirales des coquillages, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales,...et évidemment l'architecture.
L'architecte et urbaniste Le Corbusier lui consacre un essai : "LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique" (Editions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL - 1949). Il baptise ainsi ce système qu'il rêve de substituer au système métrique et qu'il utilisera dorénavant dans tous ses projets.
Le mathématicien H.E. Huntley publie en 1970 The Divine Proportion. A Study in Mathematical Beauty où il expose toutes les situations où l'on peut rencontrer le nombre d'or tandis que l'historienne d'art Marguerite Neveux démonte toutes les études précédentes dans son ouvrage Nombre d'or - radiographie d'un mythe en 1995.
Bref, le nombre d'or suscite autant d'adorateurs que de détracteurs.
Nombre d'or et art
Certains ont reconnu dans cette proportion une esthétique particulière et la découvre dans des tableaux et des monuments. D'autres arguent du fait que toute proportion comprise entre 1,4 et 1,8 nous semble tout autant esthétique.
Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or en tant que tel en matière d'esthétique, il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des question d'urbanisme plus que d'architecture. Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle.
Nombre d'or dans la nature
Certains affirment observer le nombre d'or dans l'implantation des feuilles sur la tige des plantes, ou des écailles dans la pomme de pin. La présence de la suite de Fibonacci pour ce type de croissance pourrait en effet expliquer ce phénomène.
D'autres la trouvent dans la coquille du nautile. Il est certain que la spirale du nautile semble bien de forme logarithmique (ce qui se conçoit bien comme première approximation d'une croissance). Le rapport en revanche est seulement "voisin" du nombre d'or et aucun raisonnement scientifique ne permet jusqu'à présent de prouver ou justifier la présence du nombre d'or. En revanche, cette spirale n'est en rien une spirale d'or.
Certains pensent le découvrir dans la spirale d'ADN, dans les quasicristaux ... Vaste domaine de recherche.
Nombres d'or en astronomie
En astronomie, on appelle nombre d'or, le rang d'une année dans le cycle de Méton qui comporte 19 années et permet de faire coïncider à quelques heures près cycles lunaires et cycles solaires. Il existe alors 19 nombres d'or (de 1 à 19) et chaque année possède son nombre d'or. Mais ces nombres d'or n'ont aucun rapport avec le nombre φ étudié précédemment.
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- Dossier de Robert Chalavoux dans Futura-sciences
- Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses ? Rapport de Kévin Drapel et Cyril Jaquier
- Nombre d'or - radiographie d'un mythe de Marguerite Neveux.
- LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique de Le Corbusier (Editions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL - 1949)
