Nombre constructible
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Un nombre constructible à la règle et au compas est une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.
La question de savoir quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon a hanté les mathématiciens depuis les éléments d'Euclide.
Du temps de la mathématique grecque, les seuls outils géométriques « autorisés » étaient la droite et le cercle. Toute construction faisant intervenir d'autres outils dit « mécaniques » (spirale d'Archimède, conchoïde, ellipse...) n'étaient que de la géométrie « abâtardie ». Cette vision très rigoriste de la géométrie euclidienne est à la source de problèmes célèbres comme l'irrationalité de racine de 2, la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube.
Sommaire |
Constructions possibles
A l'aide d'une règle et d'un compas, on peut construire des cercles et des droites, bien sûr, mais aussi des parallèles et des perpendiculaires :
Parallèle
On construit le quatrième point d'un parallélogramme ABCX en traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA et un arc de cercle de centre A et de rayon BC.
Perpendiculaire
On utilise les propriétés des symétries axiales.
Opération sur les nombres constructibles
Addition
Soustraction
Image:Differenceconstructible.png
À condition que x > y
Multiplication
Image:Produitconstructible.png
Une simple utilisation du théorème de Thalès permet de dire que 1×z = x × y
Division
Image:Quotientconstructible.png
La même utilisation du théorème de Thalès permet de dire que
- <math>\frac{z}{1}=\frac{x}{y}</math>
Ces observations permettent de dire que l'ensemble des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives) est un corps commutatif. Les Grecs ont ainsi pu établir que tous les nombres rationnels positifs étaient constructibles. Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.
Extraction de racine carrée
On utilise le fait que, dans un triangle rectangle en A, si H est le pied de la hauteur issue de A, on a
- BH×BC = BA²
(c'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ABC et HAB sont semblables) et la propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, on peut extraire une racine carrée:
On trace donc la longueur x = BC, puis le cercle de diamètre BC, puis le point H tel que BH = 1, puis la perpendiculaire à (BC) menée par H , puis le point A intersection de cette perpendiculaire avec le cercle. BA² = 1×x nous assure que <math>y = \sqrt{x}</math>
Les racines carrées sont donc constructibles. La première tentative des Grecs a été de dire que ces nombres étaient rationnels mais une démonstration simple leur a permis de se convaincre que cela n'était pas le cas. Il existait donc des nombres constructibles qui n'étaient pas rationnels mais irrationnels. Quells étaient alors leur forme? Permettaient-ils de tout mesurer dans le monde réel ? Malgré leurs recherches, ils ne purent venir à bout du problème, ni eux ni les mathématiciens de langue arabe qui suivirent et qui eurent pourtant l'intuition du résultat.
Ensemble des nombres constructibles
Les opérations précédentes permettent donc de dire que tout rationnel est constructible, mais aussi que la racine carrée d'un rationnel est constructible et même que l'on peut, avec de la patience, construire le nombre suivant:
- <math>5 + \sqrt{23-\frac{3/2 +\sqrt{17} }{\sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{2}}}}.</math>
L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire uniquement à l'aide des 5 opérations précédentes. Il faut attendre les travaux de Pierre-Laurent Wantzel, qui, grâce aux travaux de Gauss sur les polygones constructibles, peut énoncer son théorème de Wantzel et affirmer que les seuls nombres constructibles sont de cette forme (plus exactement sont dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une.... d'une extension quadratique de Q).
Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube, qui reviennent à résoudre une équation de degré 3 (donc extension impaire). L'ensemble des nombres constructibles ne regroupe donc qu'une petite partie de l'ensemble des nombres algébriques.
Le problème de la quadrature du cercle tombera un peu plus tard, quand Ferdinand von Lindemann aura prouvé en 1882 que π n'est pas algébrique, c’est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à coefficients dans Q. le nombre π ne peut donc pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une....d'une extension quadratique de Q.
À lire
Jean Claude Carréga: Théorie des corps, la règle et le compas . Hermann 1981
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