Produit mathématique
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Un produit est le résultat d'une multiplication, ou une expression qui identifie les facteurs à multiplier. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi toute permutation des termes ne modifie pas le résultat du produit. Ces propriétés sont connues comme étant la commutativité de la loi de multiplication et l'associativité.
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Principe pour les entiers décimaux
La multiplication permet de calculer des addition identiques, par exemple:
- 7 + 7 + 7 + 7 + 7
peut se noter
- 5 × 7.
Dans ce cas, le résultat est 35.
Cette opération peut aussi se noter
- 5 · 7 = 35
ou bien
- <math>\begin{matrix} & 5 \\ \times & 7 \\ & \overline{35} \end{matrix}</math>
Le résultat peut être obtenu:
- par additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable)
- par une table de multiplication
- par l'exécution d'un algorithme (de tête, à la main avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'une calculateur). Il existe pour cela des méthodes qui font partie du bagage culturel, et d'autres qui sont des objets de recherche.
Définition mathématique
Généralisation
Plus généralement, un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative. Lorsque des matrices ou des objets de diverses autres algèbres associatives sont multipliés, le produit dépend en général de l'ordre des facteurs; en d'autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres algèbres, ne sont pas commutatives.
Des généralisations et des extensions du concept de produit existent en mathématiques :
- le produit scalaire et le produit vectoriel sont des sortes de multiplications de vecteurs ;
- le produit des matrices, la multiplication des matrices n'est pas commutative ;
- le produit usuel de deux fonctions ;
- les produits dans des anneaux ou dans des corps de toutes sortes.
Il faut noter que des multiplications respectant l'invariance des normes (la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme) n'ont pu être définies que pour quelques objets: les réels, les complexes, les quaternions et les octonions.
notation
Le produit peut être noté ∏ lorsque de nombreux facteurs indicés interviennent. Par exemple, si l'on considère une suite <math>u_n,\ n \in \mathbb{N}</math>, alors
- <math>\prod_{i=1}^N u_i = u_1 \times u_2 \times \cdots u_N</math>
