Moyenne
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Il y a plusieurs méthodes pour calculer une moyenne d'un ensemble de nombres. Lorsque, dans le langage courant, on parle de moyenne, on évoque en fait la moyenne arithmétique.
Sommaire |
Arithmétique
La moyenne arithmétique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques.
- <math> \bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i}</math>
Valeur médiane
La valeur médiane est une valeur à laquelle 50% des valeurs observées sont inférieures. Elle n'est pas (sauf exception ou hasard) équivalente à la moyenne arithmétique de l'ensemble. En supposant que l'on ait, au préalable, rangé les valeurs observées de sorte qu'elles se trouvent indexées suivant l'ordre des valeurs croissantes (<math> x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...\ x_i,\ x_{i+1}\ etc.</math>) :
- pour un nombre pair 2n de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, soit <math>(x_n + x_{n+1})/2</math>, ou toute autre valeur strictement comprise entre <math> x_n </math> et <math> x_{n+1} </math>
- pour un nombre impair 2n+1 de valeurs, la médiane est unique et égale à <math>x_{n+1}</math>.
Géométrique
La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :
- <math>\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}</math>
On peut l'illustrer avec le cas suivant: si l'inflation d'un pays est de 5% la première année et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,05 et 1,15 soit une augmentation moyenne de 9,88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).
Harmonique
La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :
- <math>\bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}</math>
Exemple: si un train fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse moyenne <math>v_1</math> pour l'aller et à la vitesse moyenne <math>v_2</math> au retour, la vitesse moyenne du trajet complet n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais bien leur moyenne harmonique.
Quadratique
La moyenne quadratique est définie de la manière suivante :
- <math>\bar{x} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}}</math>
Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré qui a même diagonale que le rectangle a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5,38
Cas général
La définition (et donc le calcul) des moyennes précédentes peut être synthétisée et généralisée à l'aide de la formule unique suivante :
- <math>\bar{x}(m) = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^m}}</math>
où l'on retrouve :
- pour <math>m\ =\ 1</math>, la moyenne arithmétique
- pour <math>m\ =\ 2</math>, la moyenne quadratique
- pour <math>m\ =\ -1</math>, la moyenne harmonique
- lorsque <math>m \to 0</math>, la limite de <math>\bar{x}(m) </math> est la moyenne géométrique
Comparaison
Si a et b sont deux réels positifs tels que a < b, alors on a :
- <math>a < M_{harmonique}(a,b) < M_{geometrique}(a,b) < M_{arithmetique}(a,b) < M_{quadratique}(a,b)< b</math>
Pondérée
La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie pour localiser le barycentre d'un polygone, en physique pour déterminer le centre de gravité ou en statistique et probabilité pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :
- <math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}</math>
Dans le cas général le poids <math>w_i</math> représente l'influence de l'élément <math>x_i</math> par rapport aux autres.
Valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne <math>\mu</math> d'une fonction f intégrable sur un intervalle [a,b] est :
- <math>\mu = \frac{1}{b-a} {\int_a^b f(x)\,dx}</math>
Voir aussi
- Statistique élémentaire: Critères de position
