Moment (mécanique)

Un article de Freepedia.

En mécanique, le moment est une adaptation des notions de masse et de force pour le cas particulier de la rotation.

En effet, pendant une rotation, chaque point du solide décrit une trajectoire propre, et notamment subit une accélération propre (inversement proportionnelle au carré du rayon de la trajectoire). Lorsque l'on étudie chaque point séparément et que l'on intègre les lois de la mécanique sur tout l'objet, il apparaît des grandeurs dépendant de l'axe de rotation, appelées moment d'inertie, moment de la force et moment cinétique. L'utilisation de ces grandeurs permet de simplifier les calculs.

Sommaire

1 Moment d'une force (couple)
2 Moment d'inertie
- 2.1 Théorème de Huygens
3 Moment cinétique
4 Utilisation des moments
5 Voir aussi

Moment d'une force (couple)

Plaçons nous tout d'abord dans le cas d'un mouvement dans le plan.

Le moment d'une force <math>\vec{F}</math> s'exerçant au point A par rapport au pivot P, que l'on appelle également couple, est le nombre algébrique <math>M_{\vec{F}/P}</math> dont la valeur absolue vaut

où d est la distance du pivot à la droite portant le vecteur force, ou la plus courte distance entre le point A et l'axe de rotation ; le moment est positif si la force tend à créer une rotation dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre.). La longueur d est appelée bras de levier.

Si la force est perpendiculaire au levier, alors d est simplement la distance PA entre le pivot et le point d'application. Sinon, il faut prolonger la droite passant par le point d'application et portant le vecteur, d est alors la distance du pivot à sa projection orthogonale sur cette droite. D'une manière générale, on peut écrire

<math>M_{\vec{F}/P} = PA \cdot ||\vec{F}|| \cdot \sin \alpha</math>

où α est l'angle <math>(\widehat{\overrightarrow{PA},\vec{F}})</math>.

Image:Moment force.png

Plus le moment d'une force par rapport à un pivot est grand, plus cette force aura tendance à mettre le levier en rotation. On retrouve deux notions intuitives :

plus le bras de levier est long, plus il est facile de soulever un objet
il est plus facile d'exercer un effort perpendiculairement au levier.

On remarque également que :

une force s'appliquant au pivot a un moment nul
une force dans l'axe du levier a un moment nul

puisque dans les deux cas, d est nul.

Dans l'espace, on considère la rotation de l'objet par rapport à un axe

On peut définir le vecteur-moment de la force par rapport à l'axe Δ par

<math>\vec{M}_{\vec{F}/\Delta} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}</math>

ce vecteur est normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par <math>\vec{M}_{\vec{F}/\Delta}</math>).

Voir l'outil mathematique produit vectoriel.

Moment d'inertie

Considérons un objet composé de plusieurs points solidaires i de masse m_i. Cet objet tourne autour d'un axe Δ, et la distance de i à Δ est r_i. On définit alors le moment d'inertie M_i/Δ par rapport à l'axe Δ par :

<math>M_{i/ \Delta}=\sum_{i} r_{i}^{2} \cdot m_{i}</math>

Si le solide est un solide continu, on peut définir en chaque point x du solide une masse volumique ρ, le moment d'inertie vaut alors

<math>M_{i/ \Delta}=\int d(x,\Delta)^{2}\cdot\rho dV</math>

où

d(x,Δ) est la distance entre le point x et l'axe Δ et
dV est un petit volume autour de x

que l'on peut aussi écrire sous une forme vectorielle :

<math>M_{i/ \Delta}=\int \left (\vec{\Delta}\wedge\vec{OM} \right )^{2}\cdot\rho dV</math>

où

O est un point sur l'axe Δ
<math>\vec{\Delta}</math> est un vecteur unitaire de l'axe Δ

Théorème de Huygens

Considérons l'axe Δ le centre de gravité de l'objet et un axe Δ' parallèle à Δ et distant de ce dernier d'une distance d. Huygens a établi une relation très pratique pour calculer le moment inertie M_i/Δ' quand on connaît le moment d'inertie M_i/Δ :

<math>M_{i/ \Delta '}=M_{i/ \Delta}+m\cdot d^{2}</math>

Ainsi le moment d'inertie M_i/Δ' se déduit de M_i/Δ simplement en ajoutant le produit de la masse m du corps par la distance d entre les axes Δ' et Δ au carré.

Une conséquence immédiate du théorème est que le moment d'inertie minimal est obtenu pour les axes passant par le centre de gravité.

Moment cinétique

Si une particule de masse m décrit un cercle de rayon r à une vitesse de norme constante v, alors son moment cinétique Lvaut :

L = r · m · v.

Dans le cas général, si <math>\vec{r}</math> est le vecteur normal à l'axe de rotation et reliant cet axe au point matériel, et si <math>\vec{p}</math> est la quantité de mouvement (ou impulsion) du point matériel, alors

<math>\vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p}</math>

Voir l'article détaillé Moment angulaire.

Utilisation des moments

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

<math>\vec{M}_{F/\Delta} = \frac{d \vec{L}}{dt}</math>

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si <math>\vec{\omega}</math> est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

colinéaire à l'axe de rotation Δ,
dont la norme est la vitesse angulaire
et orienté le que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation),

alors

<math>\vec{L} = M_{i/\Delta} \cdot \vec{\omega}</math>