Matrice triangulaire
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En Algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées particulières.
Il en existe deux types : les matrices triangulaires supérieures qui sont des matrices carrées de la forme :
- <math>\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}</math>
et la matrice transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure. Donc une matrice triangulaire inférieure est de la forme :
- <math>\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 &\cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}</math>
Propriètés des matrices triangulaires :
- Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
- Une matrice triangulaire est inversible si tous ses termes diagonaux sont non nuls.
- Si A est une matrice triangulaire d'ordre n alors :
- <math> \left| A \right| = \prod_{i=1}^n a_{ii}</math>
Ce qui signifie que le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux.
