Matrice inversible

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s'il existe une matrice B d'ordre n telle que

AB = BA = I_n,

où I_n désigne la matrice unité d'ordre n. La multiplication est la multiplication ordinaire des matrices. Dans ce cas, la matrice B est unique et est appelée la matrice inverse de A, et est notée A⁻¹.

Une matrice carrée qui n'est pas inversible est dite non inversible ou singulière. Tandis que le plus souvent ces matrices sont à coefficients réels ou complexes, toutes ces définitions peuvent être données pour des matrices à coefficients dans un anneau quelconque.

Théorème des matrices inversibles

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps <math>\mathbb{K}</math> (par exemple le corps des réels <math>\mathbb{R}</math>.) Les propositions suivantes sont équivalentes :

A est inversible,
A est équivalente à la matrice unité I_n d'ordre n,
A possède n pivots,
det (A) ≠ 0, (déterminant non nul)
le rang de A est égal à n,
l'équation AX = 0 a pour unique solution X = 0,
pour tout b dans <math>\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})</math>, l'équation AX = b a au plus une solution,
pour tout b dans <math>\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})</math>, l'équation AX = b a au moins une solution,
les colonnes de A sont linéairement indépendantes,
les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de <math>\mathbb{K}^n</math>, engendrent <math>\mathbb{K}^n</math>,
les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de <math>\mathbb{K}^n</math>, forment une base de <math>\mathbb{K}^n</math>,
l'endomorphisme canoniquement associée à A, can(A), c’est-à-dire l'application linéaire de <math>\mathbb{K}^n</math> dans lui-même qui a pour matrice A par rapport à la base canonique, est injectif,
l'endomorphisme canoniquement associée à A, can(A) est surjectif,
l'endomorphisme canoniquement associée à A, can(A) est bijectif,
il existe une matrice B d'ordre n telle que BA = I_n,
il existe une matrice B d'ordre n telle que AB = I_n.
la transposée ^tA de A est inversible,
0 n'est pas valeur propre de A.

En général, une matrice carrée sur un anneau commutatif est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans cet anneau.

Autres propriétés et résultats

Pour voir si une matrice donnée est inversible, et calculer l'inverse, on utilise souvent la méthode de Gauss. D'autres méthodes sont exposées dans l'article inversion de matrice.

La matrice inverse d'une matrice inversible A est elle même inversible, et

(A⁻¹)⁻¹ = A

L'inverse du produit d'un scalaire k non nul et d'une matrice A est égal au produit de l'inverse de ce scalaire et de l'inverse de cette matrice.

(kA)⁻¹ = k⁻¹A⁻¹

Le produit de deux matrices A et B inversibles de même ordre, est une matrice inversible et l'inverse est donné par

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

(Remarquons que l'ordre des matrices est inversé).

La conséquence de ces propriétés est que l'ensemble des matrices carrées d'ordre n inversibles forme un groupe, appelé le groupe linéaire et noté habituellement <math>Gl_n</math>.

En général, « presque toutes » les matrices sont inversibles. Sur le corps des nombres réels, cela peut être formulé de façon plus précise: l'ensemble des matrices non inversibles, considéré comme sous-ensemble de <math>\mathbb{R}^{n\times n}</math>, est un ensemble négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle. Intuitivement, cela signifie que si vous choisissez au hasard une matrice carrée à coefficients réels, la probabilité pour qu'elle soit non inversible est égale à zéro. La raison est que des matrices non inversibles peuvent être considérées comme racines d'une fonction polynôme donnée par le déterminant.

Généralisations

Certaines des propriétés des matrices inverses sont aussi vérifiées par les matrices pseudo-inverses qui peuvent être définies pour n'importe quelle matrice, même pour celles qui ne sont pas carrées.