Loi de Biot et Savart
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La loi de Biot et Savart donne le champ magnétique créé par une densité de courant constante.
En particulier, un élément infinitésimal de longueur <math>d\vec l</math> parcouru par un courant <math>I</math> crée un champ magnétique <math>d\vec B</math> situé à la position <math>\vec r</math> par rapport à <math>d\vec l</math> :
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<math> d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \vec r}{r^3} </math> |
où <math>\mu_0</math> est la perméabilité magnétique du vide.
La loi de Biot et Savart est fondamentale en magnétostatique au même titre que la loi de Coulomb en électrostatique.
Sommaire |
Cas particuliers
Théorème d'Ampère
En appliquant la loi de Biot et Savart sur une boucle de courant, on retrouve le théorème d'Ampère.
Densité linéique de courant
Dans le cas d'une densité linéique de courant <math>I</math> existant sur la courbe <math>\mathcal C</math>, le champ magnétique créé est :
<math> \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathcal{C}} \frac{Id\vec l \times \vec r}{r^3}</math>.
Densité surfacique de courant
Dans le cas d'une densité surfacique de courant <math>\vec j_s</math> existant sur la surface <math>\mathcal S</math>, le champ magnétique créé est :
<math> \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_{\mathcal{S}} \frac{\vec j_s \times \vec r}{vfr^3}dS</math>.
Densité volumique de courant
Dans le cas d'une densité volumique de courant <math>\vec j</math> existant dans le volume <math>\mathcal V</math>, le champ magnétique créé est :
<math> \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_{\mathcal{V}} \frac{\vec j \times \vec r}{r^3}dV</math>.
Particule chargée
Une particule ponctuelle de charge <math>q</math>, de vitesse constante <math>\vec v</math> crée un champ magnétique :
<math> \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec v \times \vec r}{r^3} </math>
Application à l'aérodynamique
La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.
Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse unduite est donnée par :
- <math>v = \frac{\Gamma}{4\pi d}</math>
où
- Γ est l'intensité du vortex
- d est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex.
Pour une ligne de vortex de longueur finie :
- <math>v = \frac{\Gamma}{8 \pi d} \left[\cos A - \cos B \right]</math>
où A et B sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.
